| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744)
千原 浩之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70273068)
栄 伸一郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30201362)
溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (00251570)
二宮 宏和 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (90251610)
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| Research Abstract |
非線形拡散系のダイナミクスは,爆発や凝集,遷移層など各種の特異性が発現するメカニズムとその数理構造の解明が理解の鍵となる.しかしながら,このような強い特異性が発現する場合には,従来の解析手法をそのまま適用するだけではなく,問題に応じた新たな手法の開発が必要である.
本研究は,これまでの研究の不備な点を補い,非線形拡散系に見られる数理構造を明らかにするとともに,新たな解析手法の構築を目指している.特に,安定な時空間構造生成のメカニズム,高次元パターンダイナミクス,単独非線形拡散方程式の解の長時間挙動についての研究を進めている.
具体的な研究成果は以下のとおりである.
(1)空間的な非一様性を持つshadow systemにおける定常解の安定性に関する研究を行った.その結果,非線形項が歪勾配構造を持つ場合について,安定解の空間的構造の複雑さと空間的非一様性の関係を明らかにした.その際,空間的非一様性を表す関数の凸性が解の構造と関わっていることを明らかになった.
(2)藤田型方程式の解の振る舞いに関する研究を行った.まず,自明解への収束の速さと初期値の空間的減衰率の関係を明らかにした.次に,前方自己相似解への収束について調べ,収束するための初期値の範囲を与えた.また収束の速さが初期値の空間的減衰率と関連していることを明らかにし,その精密な評価を与えた.
(3)不定符号の重みを持つ固有値問題に関する研究を行った.主固有値の最小化問題については,これまでの研究によって,空間1次元の場合に完全な解答が得られている.今年度は管状領域における問題を考察し,1次元の大域的最小化解を断面方向に一様に延長した場合に,局所的に最小かどうかについて調べた.その結果,断面が大きいと必ずしも局所最小ではなく,対称性の崩壊が生じることを見いだした.さらに,数値計算によって勾配流のシミュレーションを行った.
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