非正則アイゼンシュタイン級数の特殊値の計算アルゴリズムの研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540008
• Research Institution: Saitama University
• Principal Investigator: 佐藤 孝和 埼玉大学, 理学部, 助教授 (70215797)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 権 寧魯 九州大学, 数理学研究院, 助教授 (30302508) ; 柳井 久江 埼玉大学, 理学部, 講師 (10008865)
• Keywords: Eisenstein級数 / 近正則保型形式

Research Abstract

本年度は重さ2の非正則Eisenstein級数をある種の楕円関数と本質的にあまり違わないものと捉え、虚2次な無理数に対してそれが生成する虚二次体Kの整数環を自己同型環とする楕円曲線Eのある種の等分点での値を用いてEisenstein級数の値を求めることを試みた。ここである種の等分点とは具体的にはKでsplitする素数pに対して、pを割る素イデアルで零化される点(これらはEのp分点のなす群の位数pの真部分群をなす)である。これに関して、この群Gに沿った(これは実軸にはなり得ず、一般的には虚軸でもない)楕円関数のq展開を得た。Gの単位元ではない点上のx座標の和はEの一般化された等分多項式の最高次の係数とその次の次数の係数から求めることができ、pがKでsplitする奇素数の場合にはこのpを割る素イデアル分点に対応する一般化された等分多項式が定義される場合であることから、この和をpの多項式オーダーで求めるアルゴリズムを得た。ここで、一般化された等分多項式の計算量評価が問題であり、係数がpに関して多項式オーダーで増大することからbit演算に関する時間計算量でlog pの多項式オーダーで求めることは望めないのであるが、現在得られているアルゴリズムでは四則演算の回数(あるいは等分多項式を計算する漸化式の適用段数)もpの多項式オーダーであり、この点に改善の可能性があることが分かった。これは次年度以降の検討課題とすることとした。
また、実例計算のための実装もある程度行なったが、漸化式の初期設定の部分でKの判別式の影響が大きく、漸近的にはともかく現状では遅い。この改良も次年度以降に行ないたい。