2004 Fiscal Year Annual Research Report
非正則アイゼンシュタイン級数の特殊値の計算アルゴリズムの研究
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15540008
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
佐藤 孝和 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (70215797)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柳井 久江 埼玉大学, 理学部, 講師 (10008865)
権 寧魯 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (30302508)
田口 雄一郎 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (90231399)
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| Keywords | Eisenstein級数 / 等分多項式 / 特殊値 |
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| Research Abstract |
本年度は重さ2の非正則Eisenstein級数の特殊値が楕円曲線の等分点と密接に関係することを利用した研究を行なった。その結果として有限体上の楕円曲線上の離散対数問題に関する成果を上げた。Fを有限体Kの乗法群の部分群Gから楕円曲線への準同型写像、そのX座標成分をfとする。fはKからKへの多項式として実現される。この係数は本質的には主合同部分群に関する非正則Eisenstein級数の特殊値である。他方、楕円曲線上の等分多項式の理論を使い、fの多項式表現の次数を下から評価することができる。これは係数に現れる非正則Eisenstein級数の少なくとも一つは楕円曲線に対応する上半平面上の点でゼロになっていないことを意味する。この結果自体、興味深いが、この手法を昨年度得られた一般化された等分多項式と組み合わせることにより、次の結果を得た:次数が2あるいは3の自己準同型を持つ有限体上の楕円曲線の離散対数をm点で多項式補完した多項式の次数は(ある条件のもとで)m/2あるいはm/3より大きい。多少の条件がつくものの、これは従来知られていたm/4よりは良い下界である。いずれの場合に於ても、次数のみではなく、多項式の係数の値がどうなるかは不明でありこれを明らかにするためにはEisenstein級数の特殊値のより詳細な性質が必要である。最高次以下の係数はランダムに分布していると仮定し、一般的な多項式評価以外のアルゴリズムしか使えないとすると、これは楕円曲線上の離散対数の計算量の下からの評価、ひいては楕円曲線を用いた暗号の安全性への傍証を与えている。
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