非正則アイゼンシュタイン級数の特殊値の計算アルゴリズムの研究

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540008
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 佐藤 孝和 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (70215797)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 柳井 久江 埼玉大学, 理学部, 講師 (10008865) ; 権 寧魯 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (30302508) ; 田口 雄一郎 九州大学, 大学院数理学研究科, 助教授 (90231399)
• Keywords: Eisenstein級数 / 特殊値 / Verheul写像

Research Abstract

本年度は、重さ2の非正則および正則Eisenstein級数の特殊値と有限体上の楕円曲線のVerheul写像の多項式補間の係数の間の関係について研究し、昨年度に得られた結果を大幅に改良することに成功した。Fを有限体Kの乗法群GからK上の楕円曲線EのK有理点のなす群への単射準同型写像(このような写像をVerheul写像という)とする。前年度はKの適当な部分集合S上の多項式補間の次数をSの要素数の定数倍でしたから押さえる結果を得たが、最高次の係数以外の性質については分からなかった。今年度は、SがGに一致するとき、約58%のEに対してはVerheul写像の多項式補間の係数は一つもゼロにならないという結果を得ることができた。これはVerheul写像を多項式補間によりすばやく評価することはまず出来そうにないということを示唆するもので、楕円曲線暗号や、有限体の乗法群の離散対数問題の困難性に基づく暗号の安全性と深く関係するものである。より具体的に結果を述べると:多項式補間の係数を重さ2の非正則・正則Eisenstein級数の特殊値で具体的に表した。他方、これらのEisenstein級数の特殊値の比はモジュラー曲線上の有理関数とみなせるが、このKへのreducitonで零点や極の位数がどのように変るかという事について、モジュラー曲線の特異点も含めて解明した。この際、すべての特異点について情報が得られるわけではないが、対応する楕円曲線が明示的に特定出来る、少数の曲線とK上同じ同種類に属しなければ極・零点の位数がどう変化するかを記述することができることを示した。