2005 Fiscal Year Annual Research Report
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15540012
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| Research Institution | National University Corporation Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
山形 邦夫 東京農工大学, 大学院・共生科学技術研究部, 教授 (60015849)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
和田 倶幸 東京農工大学, 大学院・共生科学技術研究部, 教授 (30134795)
吉野 雄二 岡山大学, 理学部, 教授 (00135302)
浅芝 秀人 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 助教授 (70175165)
伊山 修 名古屋大学, 多元数理研究科, 助教授 (70347532)
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| Keywords | 有限次元多元環 / 自己入射多元環 / Frobenius多元環 |
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| Research Abstract |
体K上の有限次元多元環AがFrobenius多元環であるための必要十分条件は,1939年に中山正によって与えられた(Ann.Math.40).その論文の中で,自己入射多元環(self-injective algebra)であるがFrobenius多元環ではない例が与えられている.しかし今日まで,中山が示した例以外は知られていなかった.そこで,Frobenius多元環ではない自己入射多元環で任意の大きさの次元を持つ例を構成する研究を行い,次のように非Frobeniusである自己入射多元環の特徴付けを与えることに成功し,それにより目的の例を構成する方法を得ることができた.
定理
Λを基本的で連結な自己入射多元環とし弱対称的ではないとする.Λ=P_1【symmetry】P_2【symmetry】【triple bond】【symmetry】P_nをΛの直既約右イデアルへの直和分解とする.また,soc P_i≠top P_iとなるi∈{1,【triple bond】,n}と整数r【greater than or equal】2とに対して,数列m(1),【triple bond】,m(n)を各j≠rに対してm(j)=1,m(i)=rを満たすようにとる.このとき数列m(1),【triple bond】,m(n)によって定まる自己入射多元環Λ(m(1),【triple bond】,m(n))は非Frobeniusで自己入射的である.
この定理によって任意に大きな次元を持つ非Frobenius多元環で自己入射的なものを構成することが容易にでできる.この構成法によれば,中山が示した唯一の例は,もっとも次元の小さなものであることが分る.
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