2005 Fiscal Year Annual Research Report
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15540021
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
小松 尚夫 弘前大学, 理工学部, 助教授 (70300556)
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| Keywords | Continued fractions / Tasoev continued fractions / Hurwitz continued fractions / Rational approximations / Diophantine approximations / Zaremba's conjecture |
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| Research Abstract |
1.Hurwitz連分数はその部分商が1次の多項式のとき、tanh型、tan型、e型の3つに分類されることが前年度までの研究でわかっており、Tasoev連分数については、Hurwitz連分数のtanh型、tan型に対応するものが既に得られていた。本年度は、Hurwitz連分数e型に対応する新しいタイプのTasoev連分数について構成することが出来た。
2.さらに、今までにその存在が知られているTasoev型連分数を与えるすべての実数(無理数)に対して、有理数による近似の下からの評価を与えた。特に、全ての有理数について成り立つ最良の評価を正確に求めることが出来た。
3.連分数展開の部分商列を任意に与えるとき、それを満たすようなもとの実数を閉じた形として得ることは今までは難しかった。本年度開発したアルゴリズムは、実数を無限和の積として表すことまでは可能にする便利なもので、応用例として今まで知られていなかった新しいタイプのTasoev連分数を得ることが出来た。
4.任意に与えられた実数は単純連分数で一意に展開されるが、本年度は、逆方向の、任意に与えられた数列からなる部分商をもつ連分数から元の実数を復元する方法を与えた。その結果、実数は無限和やその比の形から求められることがわかった。
5.有理数の分母を任意の1より大きい整数としたとき、適当な正整数を分子に取ると、有理数の連分数展開の部分商をすべて5以下にできるという未解決問題について、ある有理数について成り立てばその分母の任意の偶数ベキ乗についても成り立つことを証明した。
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Research Products
(5 results)
