2005 Fiscal Year Annual Research Report
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15540058
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
大嶋 秀明 茨城大学, 理学部, 教授 (70047372)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柳田 伸顕 茨城大学, 教育学部, 教授 (20130768)
卜部 東介 茨城大学, 理学部, 教授 (70145655)
森杉 馨 和歌山大学, 教育学部, 教授 (00031807)
相羽 明 茨城大学, 理学部, 助教授 (90202457)
竹内 護 茨城大学, 理学部, 講師 (40007761)
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| Keywords | ホモトピー / リー群 / 自己写像 / H-写像 / サルメソン積 / 例外リー群 / 回転群 / 局所化 |
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| Research Abstract |
主に次の2つの研究を行った:
(1)階数2の例外リー群G_2のサメルソン積。
(2)基点付き空間Xの自己写像のホモトピー類集合Κ(X)と,その種々の部分集合の関係。
まず(1)について:G_2の型が(3,11)であるからG_2の本質的なサルメソン積は
<π_3(G_2),π_3(G_2)>、<π_3(G_2),π_11(G_2)>、<π_11(G_2),π_11(G_2)>
である。この第1の場合は既に古川により決定されていた。第2の場合を完全に決定し,第3の場合の奇成分を決定した。応用として、標準写像S^3xS^11→G_2の,奇素数pでの局所化がH-写像となるか否かを決定し,また、p=2の場合も込めてΚ(G_2)のp-局所化の冪零指数を決定した。
以下(2)について述べる。基点付き空間Xから自分自身へのホモトピー同値写像の基点を保存するホモトピー類集合ε(X)は写像の合成を演算として群となる。ε(X)の元でn次元以下のホモトピー群の「恒等写像」を誘導するもの全てのなす集合をε_<#n>(X)と書くと、これはε(X)の部分群である。
特にXが階数2の回転群SO(4)の場合に群ε_<#∞>(SO(4))を完全に決定した。
ε(X)の元でそのループがXの閉道空間ΩXの「恒等写像」となる全てのなす集合をε_Ω(X)と書くと、ε_Ω(X)⊂ε_<#∞>(X)⊂ε_<#n>(X)である。また,Κ(X)の部分集合で、上の定義で「恒等写像」とあるのを「零写像」で置き換えて得られるものについても包含関係Ζ_Ω(X)⊂Ζ_<#∞>(X)⊂Ζ_<#n>(X)を得る。この包含関係がいつ統合になるかを調査した。たくさんの結果を得たが,例えば,Xが球面や射影空間の積で,nがXの次元プラス3以上ならば3者は一致することを示した。特に、Xが群状有限複体の場合により詳しく考察を行った。この場合Κ(X)はXの積から誘導される積に関して群となるが,その交換子群はΖ_Ω(X)に含まれる。この事実を用いてε_Ω(X)とΖ_Ω(X)の位数を下から評価した。また、Xが低い次元のリー群の場合には更に詳しく調べた。
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