2003 Fiscal Year Annual Research Report
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15540069
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
藤井 道彦 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60254231)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
上 正明 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80134443)
今西 英器 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90025411)
足助 太郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30294515)
森本 芳則 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 教授 (30115646)
上田 哲生 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10127053)
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| Keywords | 3次元多様体 / 双曲多様体 / 錐多様体 / 幾何構造 / 結び目 / 楕円曲線 / 有理点 / 葉層構造 |
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| Research Abstract |
本研究では、特異点集合Σが単純閉曲線S^1と同相となる成分のみをもつ、3次元双曲錐多様体Mの変形を解析することを目的としている。研究代表者の藤井は、今年度の研究で、Mの双曲構造の変形空間が楕円曲線という極めて性質の良い場合について、楕円曲線のもつ加群構造に着目して、有理点集合全体のなすMordell-Weil群および有限位数の点の観点から3次元双曲錐多様体Mの変形のメカニズムを分析した。特にMが3次元球面S^3でΣが8の字結び目Kとなる重要な例について、具体的な分析を行った結果、2種類の有限位数の点RとTがMの変形を特徴づけることが分かった。RはMの錐角αが0度となる場合であり、これはMが完備双曲多様体になる場合に相当する。TはMの双曲構造が退化して、可解構造になる場合に相当する。また、3Rと7Rは、Mの錐角αの減少によって双曲構造が退化して、ユークリッド的オービフォールドになる場合に相当する。また、RとTは位数が8であるが、すべてのnR、nT(n=1,...,8)について、Mの変形を特徴付ける点に相当していることが分かった。特にMordell-Weil群に対応するMの変形が、圧縮不可能曲面に沿ってMの基本群が分裂する特別な幾何構造であることも分かった。2003年12月に京都大学数理解析研究所で開催された研究集会「双曲空間に関連する研究とその展望II」で以上の成果を発表した。また研究分担者の足助は、Bott類という葉層構造の不変量を研究する過程において、DeligneコホモロジーやGerbeとの深い関連のあるC/Z係数の微分形式の理論を構成した。また研究分担者の今西は、葉層構造を保つLipschitz同相写像の作る群の1次元コホモロジーの研究を行った。また研究分担者の上は、Seiberg-Witten不変量に由来する不変量を用いて、双曲構造の変形で生じる3次元多様体の情報を引き出す研究を行った。
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[Publications] Michiko Fujii: "Deformations of hyperbolic cone-manifolds and the confluence of singular points of ordinary differential equations of Fachsion type"Surikaisekiken Kyusho Kokyuroku. 1329. 102-108 (2003)
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[Publications] Michihiko Fujii: "An algorithm for solving linear ordinary differential egnations of Fuchsion type with three singular points"Interdisciplinary Information Sciences. 9. 189-200 (2003)
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[Publications] Taro Asuke: "Localization and Residue of the Bott class"Topology. 43. 289-317 (2004)
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[Publications] Taro Asuke: "Residue of the Bott class and an application to the Futaki invariant"Asian Journal of Mathematics. 7・2. 239-268 (2003)
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[Publications] Yoshinori Morimoto: "Logarithmic Sobolev in equality and semi-linear Pirichlet problems for infinitely regenerate elliptic operators"Asterisque. 284. 245-264 (2003)
