カンドルを用いたモノドロミー記述方式の開発と2次元結び目・2次元ブレイドの研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540077
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 鎌田 聖一 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60254380)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 寺垣内 政一 広島大学, 大学院・教育学研究科, 助教授 (80236984) ; 松本 眞 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70231602) ; 松本 堯生 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50025467) ; 河内 明夫 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00112524)
• Keywords: カンドル / バイカンドル / モノドロミー / 2次元結び目 / 2次元ブレイド / チャート / 結び目

Research Abstract

バイカンドルは4種類の2項演算をもつ集合であり、結び目の不変量を構成する上で重要な概念である。本来はカンドルと呼ばれる2種類の演算をもつ集合が、結び目理論をはじめとするトポロジーで扱われていて、その研究が必要であるが、それを拡張する概念であるバイカンドルを調査すればカンドルについての見通しも良くなることがわかった。しかし、バイカンドルの扱いは容易でなく、基礎的な研究が急務となった。そこで、コンピューターを用いて有限位数のバイカンドルの分類を行なうための準備として、数学的な考察を行ない、いくつかの補題を得た。それらの補題を用いることで、直接すべての可能性をコンピューターで計算するよりも効率的に有限位数のバイカンドルのリストを作成することができた。本年度は、位数が4であるバイカンドルの分類を行ない、98個の同型類があることが分かった。このような分類表は、これらの有限バイカンドルへの表現を調べることで、与えられた2つのバイカンドルが同型であるかどうかの判定する手立てとして用いることができる。
カンドルおよびバイカンドルの調査と平行して2次元ブレイドのモノドロミー記述方式であるチャートの概念を一般のモノドロミーの記述のために定式化を試みた。その第一歩として種数1のレフシェツファイブレーション束のモノドロミーを記述するためのチャート表示を構成し、種数1のレフシェツファイブレーション束の分類とその全空間の可微分位相同型による分類に成功した。

Research Products

• [Publications] J.S.Carter 他: "Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces"Trans.Amer.Math.Soc.. 355. 3947-3989 (2003)
• [Publications] S.Kamada 他: "Enveloping monoidal quandles"Topology Appl.. 予定.
• [Publications] S.Kamada 他: "Word representation of cords on a punctured plane"Topology Appl.. 予定.