行列空間上の作用素不等式とノルム不等式に関する研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540148
• Research Institution: Hokkaido University of Education
• Principal Investigator: 大久保 和義 北海道教育大学, 教育学部札幌校, 教授 (80113661)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長谷川 和泉 北海道教育大学, 教育学部旭川校, 教授 (50002473) ; 長田 正幸 北海道教育大学, 教育学部札幌校, 助教授 (10107229) ; 櫻田 邦範 北海道教育大学, 教育学部札幌校, 教授 (30002463) ; 小室 直人 北海道教育大学, 教育学部旭川校, 助教授 (30195862)
• Keywords: Absolute norm / Numerical range / Numerical radius / Spectrum / Aluthge transform / operator radius / ρ-contraction

Research Abstract

A∈M_nでA=U|A|(U∈M_n:unitary)をpolar分解とするとき,0【less than or equal】λ【less than or equal】1対して,A_λ:=|A|^λU|A|^<1-λ>をλ-Aluthge変換とよぶ。特にλ=1/2のときAluthge変換と呼ばれる。W(A)={<x,Ax>【approaches】| ||x||=1}をAの数域とするとき我々は次の結果を得ていた。
Theorem1A∈M_nとして,fを多項式とするとき0【less than or equal】λ【less than or equal】1に対して,W(f(A_λ))⊂W(f(A))がいえる。このことから、w(A):=sup{|λ||λ∈W(A)}とするとき、w(f(A_λ))【less than or equal】w(f(A))がいえる。本研究では、この結果を拡張することを試みる。
ρ>0に対して、ヒルベルト空間H上の有界線形作用素Tがρ-縮小作用素であるとはK⊃Hなるヒルベルト空間Kとその上のユニタリ作用素Uがあって、T^n=ρPU^n|_H (n=1,2,【triple bond】)が成り立つこととする。ここでPはKからHへの直交射影作用素である。これに関連して、Tのp-半径をw_ρ(T)=inf{γ>0|γ^<-1>T∈C_ρ}で定義する。ρ-半径(ρ>0)を総称して作用素半径とよぶ。w_ρ(・)は0<ρ【less than or equal】2でノルムになるが2<ρ<∞のときは準ノルムにはなるがノルムではない。w_ρ(・)に関して、次のことがいえる。
Theorem2T∈β(H)のpolar分解をT=UPとする。また、fを多項式とするとき、0<ρ,0【less than or equal】λ【less than or equal】1に対してw_ρ(f(T_λ))【less than or equal】w_ρ(f(T))がいえる。特に、w(f(T_λ))【less than or equal】w(f(T)がいえる。
これらの成果はLinear Algebra and its Applications等国際的な専門雑誌に出版されている。

Research Products

• [Publications] 大久保 和義(共著M.Ito etc): "On generalizeg numerical range of the Aluthge transformation"Linear Algebra and its Application. 370. 147-161 (2003)
• [Publications] 大久保 和義: "On weakly unitarily invariant norm and the Aluthge transformation"Linear Algebra and its Application. 371. 369-375 (2003)
• [Publications] 長谷川 和泉(共著 K.Yamauchi): "Infinitesimal conformal transformations on tangent bundles with the lift metric II"Mathematicae Japonicae. 57. 120-137 (2003)
• [Publications] 長谷川 和泉(共著 K.Yamauchi etc): "Infinitesimal projective transformations on tangent bundles with lift connections"Mathematicae Japonicae. 57. 483-496 (2003)
• [Publications] 長谷川 和泉(共著 Ion Mihai): "Contact CR-warped product submanifolds in Sasakian manifolds"Geometriae Dedocata. 102. 143-150 (2003)
• [Publications] 小室 直人: "The set of upper bounds in ordered linear spaces"Proceedings of the International Conference on Nonlinear Analysis and Convex AnalysisJournal. 197-207 (2003)
• [Publications] 長谷川 和泉(共著 Sorin Sabau etc): "Randers spaces of constant flag curvature induced by almost contact metric structures"Hokkaido Mathematics Journal. 33. 215-232 (2004)