シュレディンガー方程式の準古典解析

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540149
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 藤家 雪朗 東北大学, 大学院・理学研究科, 講師 (00238536)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 千原 浩之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70273068)
• Keywords: Schrodinger方程式 / レゾナンス / モノドロミー作要素 / ホモクリニック軌道 / WKB法 / 超局所解析 / 準古典解析

Research Abstract

本年度本科学研究費で以下の三つの研究を行った.
1.ホモクリニック軌道が生成するレゾナンス(多次元の場合)の研究(J.-F.Bony, T.Ramond, M.Zerzeriとの共同研究).
2.島の中の井戸型ポテンシャルが生成するレゾナンスの虚部の研究(A.L.Benbernou, A.Martinezとの共同研究).
3.断熱遷移の問題に附随するレゾナンスの研究(C.Lasser, L.Nedelecとの共同研究).
1の問題については,ホモクリニック軌道の近傍でモノドロミー作用素を定義し,その存在を示した.モノドロミー作用素とは,軌道上の一点の近傍での超局所解に対して,それを軌道にそって接続し,軌道を一周したあとの同じ点での超局所解を対応させる作用素である.この作用素をフーリエ積分作用素を使って書くことができることを示した.実際にこの作用素の漸近展開が計算できれば,それが恒等作用素であるという条件が量子化条件を与える.この結果については東北大学,京都大学(2回)での国際研究集会で途中経過として発表している.
2の問題は,ポテンシャルが解析的な場合の結果を解析的とは限らない,滑らかな場合に拡張したものである.滑らかな関数の概解析拡張を用いた.この結果は中央大学での研究集会,大阪大学でのセミナーで発表した.
3の問題を解くにあたって,一次元シュレディンガー方程式の完全WKB法を一階の連立方程式に一般化する必要がある.2×2の系の場合については一般化に成功し,これをレゾナンスの量子化条件を求めるのに応用した.この結果については神戸大学,門司での研究集会で発表した.

Research Products

• [Publications] S.Fujiie, T.Ramond: "Breit-Wigner formulas at barrier tops"Journal of Mathematical Physics. 44-5. 1971-1983 (2003)
• [Publications] S.Fujiie, M.Zerzeri: "Bohr-Sommerfeld quantization condition derived by a microlocal WKB method"Proceedings of ICONA-MECOM 2003 Vietnam Journal of Mathematics. (to appear).