2004 Fiscal Year Annual Research Report
不動点理論を介した非線形関数解析及び非線形問題の究明
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15540157
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 渉 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (40016142)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 雅治 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (30260623)
木村 泰紀 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助手 (20313447)
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| Keywords | 非線形関数解析学 / 非線形作用素 / 非線形エルゴード定理 / 非線形発展方程式 / 凸解析学 / 不動点理論 / min-max定理 / 非線形変分不等式 |
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| Research Abstract |
本研究は「不動点理論を介した非線形関数解析及び非線形問題の究明」と題して、種々の不動点定理を介して、非線形問題の解の存在と、その近似に関する問題を究明することを目的として研究がなされた。特に非線形非拡大半群の研究では、Banach空間のコンパクト集合上で、非線形エルゴード理論の平均収束法、Mann型及びHalpern型の収束法を研究し、Banach空間に条件を仮定することなしで、多くの結果を得た。
制約可能性問題の解への近似法の研究では、新しく準非拡大作用素を定義し、凸計画法のこれまでのアイデアを利用し、ハイブリッド法による強収束定理をBanach空間の場合で得た。ここで得られた可算個の制約可能性問題の解決を使って、可算個の制約式からなる凸計画問題に応用した。
非線形変分不等式問題や相補性問題の解の存在と近似法の研究では、単調かつリプシッツの非線形作用素の変分不等式問題をHilbert空間の場合で考察し、これまでの非拡大作用素の不動点近似法のアイデアを用いて、新しい結果を得た。特に2つの非線形作用素をミックスさせた変分不等式の解の近似法では、使いやすくかつ適用範囲の広い結果を得た。
これまで未解決問題とされていたBanach空間での極大単調作用素に対する零点への近似法の研究では、新しく定義された準非拡大作用素を用いて、Halpern型及びMann型の強収束及び弱収束定理を得た。またこれを非線形最適化問題の近接点法に応用した。
これらの結果は内外の雑誌に公表され、非常に関心がもたれた。また最近諸外国でたくさん引用されはじめたことを報告しておきたい。これらの成果は予想以上であった。これは科学研究費を使って大量の文献収集やその整理、ならびにこの問題に興味を持っている他大学の研究者との数多くの研究打ち合わせや討論が功を奏した結果であろうと思われる。
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