2004 Fiscal Year Annual Research Report
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15540169
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
會田 茂樹 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (90222455)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長井 英生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (70110848)
関根 順 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (50314399)
永幡 幸生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手
磯崎 泰樹 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (90273573)
日野 正訓 京都大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (40303888)
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| Keywords | シュレーディンガー作用素 / 対数ソボレフ不等式 / ラプラスの方法 / ラフパス解析 |
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| Research Abstract |
(1)単連結コンパクトリーマン多様体上のループ空間上のディリクレ形式が弱ポアンカレ不等式をみたすことの証明:
前年度に行ったWiener空間のラフパスの意味で連続な関数の逆像で与えられる部分集合上のディリクレ形式の弱ポアンカレ不等式成立の十分条件をチェックすることにより、示した。その際鍵になるのは、確率微分方程式の解のブラウン運動のp次有界変動ノルムの指数関数による評価である。
また、Lyonsの連続性定理の証明の不備を補った定量的な評価を含んだ連続性定理の証明も準備中である。
(2)Wiener空間上のシュレーディンガー型作用素の準古典的研究:
・考えているポテンシャル関数(Wiener測度の部分に隠れている部分も含む)がダブルウエル型のポテンシャル関数のとき最小固有値とその上のスペクトルギャップの大きさが順古典極限の下で指数オーダーで小さくなることを示した。
・シュレーディンガー作用素を定義するディリクレ形式はこれまで定数係数のもののみを考えてきたが、変数係数の場合に最小固有値の漸近挙動の研究を行った。予想される値で上から押さえられるのはこれまでと同様な方法でわかる。問題は下からの評価である。ガウス測度に対するGrossの対数ソボレフ不等式を直接適用して得られる下からの評価は役に立たない。しかし、それと同値なルベーグ測度にユニタリ変換して得られる不等式を用いるとポテンシャル付の対数ソボレフ不等式が得られ、それを用いるのがポイントである。
これに関連して、リーマン多様体上のシュレーデンガー型作用素の準古典的問題も研究した。
リーマン多様体上のブラウン運動の道をWiener空間上に伊藤展開することにより、問題を上記の変数係数のWiener空間上の問題に帰着できるが、この係数は上記の枠組みには入らないものである。しかし、上記の考察で最小固有値の振舞いの予想はできる。また、上記考察で現れる最小固有値に対する形式的な近似固有関数が予想される上からの評価を与えることも示した。下からは、粗い評価を与えているのみなので、改良して予想が正しいか研究するのは今後の課題である。
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