2005 Fiscal Year Annual Research Report
非線形拡散方程式系と関連する楕円型微分方程式系の研究
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15540216
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
中島 主恵 東京海洋大学, 海洋科学部, 助教授 (10318800)
竹内 慎吾 工学院大学, 工学部, 専任講師 (00333021)
久藤 衡介 福岡工業大学, 工学部, 専任講師 (40386602)
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| Keywords | 反応拡散 / 内部遷移層 / スパイク / 定常解 / Morse指数 / 安定性 |
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| Research Abstract |
本年度の研究テーマは反応拡散方程式に現れるパターンの研究である.εを微小な拡散係数するとき非線形微分方程式u_{t}=_εu^{2}_{xx}+u(1-u)(u-a(x)),(x,t)∈(0,1)×(0,∞),に対する定常問題を斉次Neumann条件の下で考える.ただし,0<a(x)<1,である.εが十分小さいときには,空間変数に依存して変化する空間的非均質性の状況に応じて,色々なパターンを伴う解が現れる.これまでの研究でa(x)=1/2となるxの近傍に内部遷移層を持つ定常解や,a(x)が極値を取るxの近傍に突起(スパイク)の形状を持つ定常解の存在することが我々の研究やAi-Chen-Hastingsらの研究によって知られている.我々はさらに定常解の形状と安定性(Morse指数)の関係について詳しい解析を続行した.例えばx=x^*の近傍に内部遷移層を持つ解u(x)について,安定な解はu'(x^*)a'(x^*)<0をみたす単一遷移層を伴うものに限られているのに対し,不安定な解はu'(x^*)a'(x^*)>0をみたす内部遷移層を伴っており,このような内部遷移層の個数がMorse指数を与えることの厳密な証明を与えるた.同一の結果はAi-Chen-Hastingsらのグループによっても得られているが,我々とは異なる証明方法である.これらの結果は2005年7月11-16日に曲阜師範大学(中国山東省)で開催された"international Conference on Nonlinear Partial Differential Equations"をはじめとする内外の会議で講演発表した.
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