極小モデル理論で得られる多様体、特にQ-Fano多様体の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15740008
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 高木 寛通 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (30322150)
• Keywords: 極小モデル理論 / Q-Fano多様体

Research Abstract

種数が6以上の反標準因子がCartlerでない主Q-Fano三様体をいくつかの仮定の下で分類した。その結果,種数が8以下が分かる。特に種数が8のときは,さらに反標準因子の2倍がCartler因子になることも分かり,また,さらに特異点がすべて商特異点であると,その数は2以下も示せる。本年度は種数が8で指数が2の商特異点をちょうど2つもつ主Q-Fano三様体を調べ,そのmodule論的特徴付けを得ることを試みた。動機は,非特異な種数12の主Fano三様体のmodule論的特徴付けである(向井茂氏による)。それは,その上の直線(反標準線型系でうめこんだ時の直線)のHilbert schemeが平面4次曲線と同型であることから,それに付随する別の平面4次曲線のべき和表示のmoduleとしてFanoを回復(記述)するものであった。上記の種数8の主Q-Fanoについて,その上の'直線'のHilbert schemeを計算すれば,それは空間曲線で三次曲面と非特異二次曲面の交わりと同型であることが分かる。(つまり,Hilbert schemeの種数は12のFanoのそれよりも1つ増える)。これに付随する四次曲面の存在が知られており,そのべき和表示のmoduleとしてQ-Fanoを回復しようとしたが解決には至らなかった。ただ,他にも種数12のFanoとの類似点が見つかったので,その意味を追求し,近い将来によい記述が得られると期待している。
他には種数6で指数2の商特異点をちょうど2つもつ主Q-Fano三様体についてもそれが三次超曲面と双有理同値な時,三次超曲面のある種の曲線のHilbert schemeとしてQ-Fanoを回復することを試みたが,Q-Fanoの双有理モデルの回復にとどまった。