整数計画問題におけるグレブナー基底の理論的および実践的有効性

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15740024
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 大杉 英史 立教大学, 理学部, 講師 (80350289)
• Keywords: グレブナー基底 / 整数計画 / トーリックイデアル / Sagbi基底

Research Abstract

研究目的に挙げた項目の中に,グレブナー基底理論の応用が期待できる整数問題に関連する具体的な課題として,統計データの分類等に用いられる分割表に関わる問題があった。近年,青木-竹村によって3元分割表に付随するトーリックイデアルの極小生成系が研究されているが,今まで求められた極小生成系は全て一意的であり,そこで,任意の極小生成系に現れるbinomial, indispensable binomialが定義された。今年度の研究では一般のトーリックイデアルのindispensable binomialをグレブナー基底の言葉で特徴付けることに成功した。すなわち,トーリックイデアルに属するbinomialに対して,以下の条件は全て同値である:
1.indispensableである
2.任意の単項式順序に対して,対応する被約グレブナー基底に属する
3.任意の辞書式順序に対して,対応する被約グレブナー基底に属する
4.任意の逆辞書式順序に対して,対応する被約グレブナー基底に属する。
さらに,有限グラフに付随するトーリックイデアルのindispensable binomialについて研究した。
また,トーリックイデアルに関連する問題として,prestable idealを定義し,そのRees代数のトーリックイデアルのグレブナー基底が,次数等について,顕著な性質を持つ事を証明した。prestable idealの例として,ある性質を持つ半順序集合の例を挙げ,特にその応用として,determinantal ringと関連する,ある代数のSagbi基底を求める事に成功した。これにより,この代数のイニシャル代数が正規且つKoszulであることが従う。

Research Products

• [Publications] Hidefumi Ohsugi 他: "Universal Groebner bases, integer programming and finite graphs"Commutative algebra, Singularities and Computer Algebra (J.Herzog and V.Vuletescu, Eds.). 170-190 (2003)
• [Publications] Naoki Terai 他: "Castelnuovo-Mumford regularity and initial ideals with no embedded prime ideal"Acta Mathematica Vietnamica. 発表予定.