局所変形で与えられる結び目の同値類のなす群に関する研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15740030
• Research Institution: Tokyo Gakugei University
• Principal Investigator: 安原 晃 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (60256625)
• Keywords: Cκ-move / Cκ同値群 / β-move / β-同値群 / Vassiliev不変量 / Gusarov群

Research Abstract

結び目の局所変形とは,文字どおり結び目を局所的に変形する操作のことである.この局所変形を用いると結び目の集合に同値関係を定義することができる.結び目の局所変形はいろいろ定義され研究されているが,その中でもCκ-omve (κは自然数)はVassiliev不変量と密接な関係があることが知られており,多数の研究者が興味を持ち研究がされている.
Cκ-moveで与えられる結び目の同値類は結び目の連結和の下で可換群(Cκ-同値群と呼ぶ)になることが知られている.この群は結び目のVassiliev不変量で定義されるGusarov群と同型であることも知られており,結び目のVassiliev不変量の研究において,Cκ-同値群の研究は非常に重要である.Cκ-同値群の研究において,次の問題「Cκ-同値群(=Gusarov群)は自由加群か?」は現在未解決の難問である.本研究ではこの問題の解決の試みとして,Cκ-moveに関連した新しい局所変形βκ-moveについて研究を行った.本年度は,特に,κ=1,2の場合についてβκ-同値群の構造を調べ,次の結果を得た.
1.κ=1のとき,βκ-同値群は自明群になる.
2.κ=2のとき,βκ-同値群はZ_2と同型になる.
Cκ-同値群は,κ=1,2のとき自明群であることが知られているので,Cκ-同値群とβκ-同値群は,κ=1のときは同型で,κ=2のときは同型でないことがわかる.