2004 Fiscal Year Annual Research Report
巡回セールスマン問題の多項式時間で解けるクラスへの計算幾何学からの取り組み
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15740062
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
小田 芳彰 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (90325043)
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| Keywords | 巡回セールスマン問題 / 計算量理論 / 組合せ論 / 組合せ最適化 / 計算幾何学 |
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| Research Abstract |
ハミルトン閉路の交差数解消については、交差する2辺の他の2辺への変換(フリップ)によって、自己交差のないハミルトン閉路を生成するための変換の最小回数の上限と下限を得た。また、ある制限をつけたいくつかのハミルトン閉路に対して、変換の最小回数の正確な値を決定することができた。この交差数解消にフリップとよばれる操作を導入しているが、これは巡回セールスマン問題の近似解法の1つである2-OPTの1ステップに類似している。
また、計算幾何学については、ボロノイ図の指定領域とその探索領域について次の研究を行った。平面上の指定領域が長方形で指定領域内の母点数が1の場合はKuhnにより、2の場合は岡本-小田-坂上-早川により、面積が最小となる最善の探累領域(以下、最適探索領域)が決定できていたが、一般の(3以上の)場合の最適探索領域が複数の円の和領域で表せることを示した。さらに長方形領域だけでなく、指定した領域が凸多角形の場合も同様の性質が成り立つことがわかった。
しかし、計算機を用いて計算・描画を行う場合、このような複雑な和領域に含まれる母点を抽出するのは計算効率のよい方法とは言えない。そこで、実用性を考慮し、計算機を用いて抽出しやすいような最適探索領域を包含するいくつかの領域(以下、近似探索領域)を導いた。特に上述の最適探索領域にMBR(Minimum Boundary Rectangle)を組み合わせることで高速に指定領域内のボロノイ図の計算が行えることを計算機実験により確認した。この近似アルゴリズムは、例えば、必要としている部分領域のみをディスプレイ上に描画する際高速に計算できるといった応用例があげられる。また、指定領域が凹多角形の場合や空間を平面ではなくn次元に拡張した場合についても同様の議論が成り立つのではないかと考えている。
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