2004 Fiscal Year Annual Research Report
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15740103
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
角 大輝 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (40313324)
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| Keywords | 複素力学系 / 有理半群 / フラクタル幾何学 / ランダム力学系 / コホモロジー |
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| Research Abstract |
一次元有理関数半群(以下有理半群)のリーマン球面上の力学系について、研究した。詳しく述べると、以下の項目を同時に並行して研究した。
(1)開集合条件を満たす、拡大的有理半群のジュリア集合のハウスドルフ次元の研究を行った。特に、その次元が、ある1パラメータ付の作用素のスペクトル半径がちょうど1となるパラメータに一致すること、また、この次元が半群の「ポアンカレ級数」の臨界指数に一致することを示した。さらに、等角測度の存在と一意性を示した。
(2)複素平面上の臨界値集合が有界な多項式半群の力学系を詳しく調べた。特に、ジュリア集合の連結成分の個数や、このクラスでジュリア集合が非連結な場合にジュリア集合の2つの連結成分はカントール集合でパラメータ付けされた擬円の族で分離されることなどを示した。
(3)一般に、後方自己相似系に対して、「相互作用コホモロジー」と呼ぶ、ある種の新しいコホモロジー理論を自ら定義し、詳しく調べた。1次コホモロジーが無限ランクになる十分条件などを調べた。これを用いて、(2)の研究の多項式半群のクラスで、実際に1次コホモロジーが無限ランクになり、よってファ集合の連結成分が無限個存在するような例があることなどを示した。
(4)(2)の研究の多項式半群を用いてランダム力学系を行うと各初期値に対して無限遠に飛んでいく確率の関数が「悪魔の階段」に似ることを示した。
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