階段関数基底による非線形境界値問題の解の数値的存在自動検証法の開発と実装

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15760045
• Research Institution: Shibaura Institute of Technology
• Principal Investigator: 神澤 雄智 芝浦工業大学, 工学部, 講師 (00298176)
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / 非線形境界値問題 / 階段関数 / 解の存在検証 / 区間演算 / ノルム評価

Research Abstract

平成15年度前半はまず、Plum, Oishiらの従来法や関連研究の現状を徹底的に調査し、その問題点をより明らかにした。具体的には、従来法のアルゴリズム中の効率性と簡便性に関する問題点を検討した。その結果、従来法は解き手に難解な関数解析的手法の知識が必要とされることが再確認され、また、ノルム評価を多く用いるために誤差評価が甘くなってしまうことが明らかにされた。さらに、従来法のシステムを実際に構築し、その効率性と簡便性を評価した。その結果、真解が予め分かっている問題に対して従来法のシステムを適用した所、理論的評価と同様に、精度面ではかなりの過大評価となることが分かった。特に効率面では、システムの適用途中で手計算を要する部分がかなりあり、自動化には程遠いことが確認された。
次に、洗い出された問題点を鑑み、本研究の核となる、階段関数係数線形系の解を精度保証つきで求めるアルゴリズムを試作した。
平成15年度後半は、前半に試作したアルゴリズムの性能を理論的手法と実際の数値実験によって検証した。具体的には、定義域の分割数に対する計算の手間を理論的に評価し、実際にシステムを構築して様々な問題に対する計算時間を計測し、これらの評価から効率性を改善するための問題点を明らかにした。その結果、定義域の分割数に対する精度は理論的には解明できなかったものの、数値実験によればほぼ分割数の二乗に比例して向上していくことが分かった。