2016 Fiscal Year Annual Research Report
Study on vector bundles and applications to stability and freeness of logarithmic vector fields along a hypersurface
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15F15318
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
稲場 道明 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80359934)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
PONS-LLOPIS JOAN FRANCISCO 京都大学, 理学研究科, 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2015-11-09 – 2018-03-31
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| Keywords | ACM層 / Urlich束 / 超平面配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
超平面配置は，射影空間内の有限個の超平面たちで与えられるが，この各超平面にm重のnon-reducedなスキーム構造を入れることにより，重みを付けた超平面配置に対応したnon-reducedで可約な射影スキームを考え，この上のACM層の研究が超平面配置の理論への有用な応用をもたらす期待されている．そこで，通常の既約代数多様体の枠組みを超え，インスタントン理論，ACM束とUlrich束の理論を，integralとは限らないより広い範囲の代数多様体(正確には代数的スキーム)に拡張することを目的として研究を行っている．
特に底空間となる代数多様体がnon-reducedな構造をもつ最も基本的な場合である2重射影平面の場合に，その上のACM層で階数が3/2以下のものの分類を与えることに成功した．これはBallico, Huh, Malaspinaとの共著論文として投稿中である．さらに、Ballico, Huhとの共同研究において，m重射影平面上の階数１のUlrich層は丁度m－1重直線のイデアル層に対応することを確認している．既約な代数多様体の場合は，Huh, Maraspinaとの共同研究で，射影直線上の射影束の上のUlrich束の分類を行っている．ここでは射影束上の連接層の導来圏のfull exceptional collectionの存在を用いている．
一方，Picard rankが2のファノ多様体上である旗多様体F(0,1,2)上で，階数２の安定インスタントン束の8k-3次元の族の存在を，Malaspina, Marchesiとの共同研究として示した．この研究において，ACM層の理論を用いている．さらにjumping conicのなすスキームが，F(0,1,2)のヒルベルトスキーム上の(2,2)型の有効因子と一致することも示している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超平面配置の理論の新たな発展を目指すため，通常の既約な代数多様体に限らず，可約でnon-reducedな構造をもつ射影スキーム上のACM層の理論への拡張に取り組んでいるが，最も基本的と思われる2重射影平面の場合に階数が3/2以下のACM層の分類を完成させ，さらにもっと一般の重複射影平面上への理論の拡張が出来ているため，概ね計画通りの進展である．またさらに，ある種のFano多様体上のインスタントン束のモジュライ空間の研究のためにACM層の理論の応用を与えることもできて，新たな視点への発展も期待されるため，進歩状況は順調と考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初は超平面配置理論へのACM層の理論の応用だけを目的としていたが，現在の代数幾何学の周辺分野を取り巻く状況は急速な発展と変化を遂げているため，ACM層の理論の拡張の方に力点をおいて研究を進める予定である．non-reducedな空間上へのACM層の理論の拡張，Fano多様体上のインスタントン束の理論を推し進めること，さらには，jumping conicを調べることに端を発して，Fano多様体上の連接層の導来圏の構造と関わるKuznetsovの理論に関連する研究も行いたいと考えている．
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