2015 Fiscal Year Annual Research Report
偏微分方程式における漸近解析と形状解析の融合と革新
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15H02058
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
石毛 和弘 東北大学, 理学研究科, 教授 (90272020)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
川上 竜樹 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 講師 (20546147)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (30350458)
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 漸近解析 / 形状解析 / 非線形問題 / 拡散方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
拡散方程式を中心に漸近解析と形状解性を用い、非線形放物型方程式系の解の爆発と凝集、動的境界条件下における非線形楕円型方程式の解構造、シュレーディンガー熱半群に関するガウス型評価等の研究を行った。
(1) 非線形熱方程式系の爆発と凝集：研究協力者 藤嶋 陽平氏 (静岡大学)と指導学生である前川弘樹氏との共同研究として、半線形熱方程式系の爆発時間直前の解の形状解析を行い、境界で解が爆発しないための十分条件を与えた。半線形熱方程式系の爆発集合の解析は、球対称解を除くとほとんど為されていないが、比較原理を応用した新しい形状解析の手法を開発することによってこの研究は可能となった。さらに、方程式系の放物型リゥービル型定理についても研究を行った。この他、石毛と分担者小川は、それぞれの共同研究者らと、Keller-Segel system の解の凝集について研究を行い、情報の交換を行った。
(2) 非線形楕円型方程式の解構造：川上竜樹氏 (大阪府立大学)および Marek Fila 氏 (コメニウス大学、スロバキア) と動的境界条件下における解の構造について研究を行い、時間大域可解性と時間局所可解性の同値性、極小解は進行波解として記述されること、等の結果を得た。
(3) シュレーディンガー熱半群：壁谷 喜継 氏 (大阪府立大) および El Maati Ouhabaz 氏 (ボルドー大学、フランス) と共同研究を行い、 シュレーディンガー熱半群に対応する基本解のガウス型評価を得た。この結果では, 劣臨界と臨界の場合について, 対応する正値調和関数の挙動の分類し、それを用いて基本解の上と下からの評価を与えた。この研究は, 今後のシュレーディンガー熱半群における漸近解析の基礎になるものと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
解の形状解析、漸近解析の融合により、非線形楕円型方程式や非線形放物型方程式における解の特異性に関連する幾つかの研究を挙げ、また、今後、漸近展開の新たな進展をもたらす基礎になるポテンシャル項付き熱方程式の解のガウス型評価を与える等、順調に研究成果を得ている。また、関連分野の国内外の研究集会を開催し、研究打ち合わせ等の研究交流も行っており、順調に研究が進んでいると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該研究課題にて得た研究成果を元に、議論を進展させ、漸近解析および形状解析の融合と新たな解析技法の確立を目指す。また、国際研究集会等を開催し、関連分野の研究交流を促進させていく。
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