2016 Fiscal Year Annual Research Report
偏微分方程式における漸近解析と形状解析の融合と革新
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15H02058
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
石毛 和弘 東北大学, 理学研究科, 教授 (90272020)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
川上 竜樹 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (20546147)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
岡部 真也 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (70435973)
小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 漸近解析 / 形状解析 / 非線形問題 / 拡散方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
拡散方程式を中心に漸近解析と形状解性を用い、動的境界条件付き非線形楕円型方程式, 分数冪熱方程式の解の高次漸近展開, 半線形分数冪熱方程式の解の初期トレースの特徴付け等の研究を行った。
(1) 動的境界条件付き非線形楕円型方程式：研究分担者川上竜樹 氏 (大阪府立大学)、研究協力者 Marek Fila 氏 (コメニウス大学, スロバキア)と共に,球の外部領域における動的境界条件付き非線形楕円型方程式の研究を行った。この研究を通して、Kelvin 変換を利用したある解の表示公式を発見し、解の先験的評価等を得、さらに解の構造について詳細な解析を行った。
(2) 分数冪熱方程式の解の高次漸近展開：初期関数が多項式減衰する分数冪熱方程式の初期値問題は、熱方程式のそれとは異なり、解がその多項式減衰を有するとは限らない。これは分数冪熱方程式の基本解の多項式減衰性に起因するが、このことが分数冪熱方程式における高次漸近展開理論の確立の妨げになってきた。研究分担者川上竜樹氏 (大阪府立大学)と石毛の指導学生であった道久寛載氏と共に、分数冪熱方程式の解の減衰が失われるメカニズムを解明し、既存理論では難しかった分数冪熱方程式の解の高次漸近展開理論を構築した。
(3) 半線形分数冪熱方程式の解の初期トレースの特徴付け：石毛の指導学生である比佐幸太郎氏と、半線形分数冪熱方程式の解の初期トレースの存在と一意性、さらにその性質について研究を行った。本研究を通して、半線形分数冪熱方程式の可解性の必要条件が与えられた。また、石毛、川上、Sierzega による 2016 年の結果を発展させて、可解性の十分条件も与えた。これにより、非負値解が存在するための最も強い初期値の特異性が同定された。さらに、初期関数の特異性や無限遠点での振る舞いと解の最大存在時間の関係について詳細な研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
解の形状解析、漸近解析の融合により、動的境界条件付き非線形楕円型方程式, 分数冪熱方程式の解の高次漸近展開, 半線形分数冪熱方程式の解の初期トレースの特徴付け等を得ている。これらの研究は今後の研究の土台となるべきものであり、今後の進展が強く期待される。また、関連分野の国内外の研究集会を開催し、研究打ち合わせ等の研究交流も行っており、順調に研究が進んでいると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該研究課題にて得た研究成果を元に、議論を進展させ、漸近解析および形状解析の融合と新たな解析技法の確立を目指す。また、国際研究集会等を開催し、関連分野の研究交流を促進させていく。
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