2017 Fiscal Year Annual Research Report

志村多様体，局所志村多様体とそのエタールコホモロジー

Research Project

Project/Area Number	15H03605
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	三枝洋一東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70526962)
Project Period (FY)	2015-04-01 – 2020-03-31
Keywords	志村多様体 / 局所志村多様体 / ラングランズ対応 / エタールコホモロジー / リジッド幾何
Outline of Annual Research Achievements	前年度は，パーフェクトイド空間のアフィノイドのエタールコホモロジーをその形式モデルの還元を用いて計算する手法を導入し，それを用いてLubin-Tate空間のエタールコホモロジーの分析を行った．今年度は，その方法を，より一般の設定へと拡張することを目標として研究を進めた．主に考察したのは，Fargues-Fontaine曲線上の階数nのベクトル束のelementary modificationのモジュライ空間である．この空間はFarguesによる局所ラングランズ対応の幾何化予想に自然に現れるものであり，そのエタールコホモロジーはGL(n)の内部形式の局所ラングランズ対応および局所Jacquet-Langlands対応を実現すると期待されている．今年度の研究によって，このモジュライ空間がパーフェクトイド空間になり，Lubin-Tateパーフェクトイド空間の場合と同様，具体的な定義方程式による記述を持つことが分かった．さらに，n=3の場合にいくつかの具体的な計算を実行し，Farguesの予想が成立していることを確認した． Chen-Fargues-Shen, Kaletha-WeinsteinおよびScholze-Weinsteinによって，Lubin-Tate塔とDrinfeld塔の間の「双対同型」がより一般の局所志村多様体に拡張された．この結果を用いて，GSp(2n)のRapoport-Zink塔のエタールコホモロジーに現れる表現が長さ有限であることを証明することができた．この結果により，研究代表者のこれまでのRapoport-Zink空間に対する研究のいくつかが条件なしで成立することになる．国際研究集会“Arithmetic Geometry and Related Topics”を開催し，国内外から当該分野の研究者を招聘して情報交換を行った．得られた情報は，次年度以降の研究を進めていく上で重要な役割を果たす予定である．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 前年度までの研究に基づき，新しい視点から局所志村多様体の研究を進めることができた．また，Rapoport-Zink塔のエタールコホモロジーに現れる表現が常に長さ有限であるかという，以前から懸案だった問題を肯定的に解決することができたことも大きな進展であるといえる．以上のことから，研究はおおむね順調に進展していると判断できる．
Strategy for Future Research Activity	本年度に研究を開始した，Fargues-Fontaine曲線上のベクトル束のelementary modificationのモジュライ空間に関する研究を継続して行う．このモジュライ空間は，古典的なLubin-Tate空間の変種にあたり，従来のRapoport-Zink空間としては実現できない局所志村多様体の中では最も扱いやすいため，現代的な局所志村多様体の研究の出発点と位置付けられるものである．昨年度に構築した，パーフェクトイド空間のエタールコホモロジーに関する一般論を適用することで，このモジュライ空間のエタールコホモロジーを詳細に調査する．本年度の研究により，計算上の困難と，概念的な困難がそれぞれ判明している．少なくとも概念的な困難に関しては，克服するための案を複数持っているため，それらがうまく機能するかを慎重に確認してゆく予定である．