2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03606
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
齋藤 秀司 東京工業大学, 大学院理工学研究科(理学系), 教授 (50153804)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | モチーフ理論 / ホモトピー不変性 / 相互層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主な研究目的はモチーフの理論をホモトピー不変性をもたない枠組みへ拡張することである。モチフィックコホモロジーの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である。モチーフの理論はモチフィックコホモロジーをホモロジー代数的に扱う枠組みを構築する理論である。これまでの理論ではホモトピー不変性が理論の基本的前提条件であった。しかしこれは応用上本質的な制約となる．例えば，代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層)はホモトピー不変性を満たさない．また整数論の重要な研究対象であるガロア表現においても，順分岐なものはホモトピー不変性をみたすが暴分岐なものは満たさない。微分方程式においても類似の現象があり，確定特異点型はホモトピー不変性を満たすが不確定特異点型は満たさない。よって既存のモチーフ理論は応用上いまだ未完成な理論であるといえる．当該研究では，既存の理論をホモトピー不変性を持たない新しい理論へ拡張するとを目的とする。
ホモトピー不変性をもたないモチーフの理論の構築のために，モヂュラス付きのモチーフの理論の開発が進んでいる。Voevodskyが構成したモチーフの三角圏は，ホモトピー不変性を満たす層「ホモトピー不変層」を基本的構成要素として用いる．当該研究者はこれまでホモトピー不変性層を拡張する「相互層」を新たに導入し，Voevodskyが示したホモトピー不変層にたいするいくつかの基本定理を相互層にまで拡張することに成功した．
さらに、Voevodskyがモチーフの三角圏の構成で用いた滑らかなスキームの圏を拡張する「モヂュラス対の圏」を新たに導入しこれを用いて「モヂュラス対のモチーフの三角圏」を構成した。これはVoevodskyがモチーフの三角圏を一般化するものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Voevodskyのモチーフの三角圏の構成において基本的な役割を果たす「ホモトピー不変層」を拡張する「相互層」を新たに導入し，Voevodskyが示したホモトピー不変層にたいするいくつかの基本定理を相互層にまで拡張することに成功した．
さらに、Voevodskyがモチーフの三角圏の構成で用いた滑らかなスキームの圏を拡張する「モヂュラス対の圏」を新たに導入し、これを用いて「モヂュラス対のモチーフの三角圏」を構成した。これはVoevodskyがモチーフの三角圏を一般化するものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
Voevodskyのモチーフの三角圏の構成において最も重要な定理が「ホモトピー不変層」にたいする純粋性定理である。これはVoevodskyのモチーフの三角圏上に「ホモトピーt-構造」と呼ばれる基本的構造を定義するのに必要である。さらにこれにより、Voevodskyのモチーフの三角圏における射の群がNisnevichコホモロジー群として計算さることが可能になる。今後の研究を推進するうえで最も重要な問題が、Voevodskyのホモトピー不変層にたいする純粋性定理を相互層の純粋性定理へと拡張することである。
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