2019 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03606
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | モチーフ理論 / モチフィックコホモロジー / 相互層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モチフィックコホモロジーの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である。モチーフの理論はモチフィックコホモロジーをホモロジー代数的に扱う枠組みを構築する理論である。これまでの理論ではホモトピー不変性が理論の基本的前提条件であった。しかしこれは応用上本質的な制約となる．例えば，代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層)はホモトピー不変性を満たさない．また整数論の重要な研究対象であるガロア表現においても，順分岐なものはホモトピー不変性をみたすが暴分岐なものは満たさない。微分方程式においても類似の現象があり，確定特異点型はホモトピー不変性を満たすが不確定特異点型は満たさない。よって既存のモチーフ理論は応用上いまだ未完成な理論であるといえる．当該研究では，Voevodskyが構成した既存の理論をホモトピー不変性を持たない新しい理論へ拡張するとを目的とする。ホモトピー不変性をもたないモチーフの理論の構築のために，モヂュラス付きのモチーフの理論の開発が進めている。Voevodskyが構成したモチーフの三角圏は，ホモトピー不変性を満たす層「ホモトピー不変層」を基本的構成要素としている．当該研究者はこれまでに、ホモトピー不変性層を拡張する「相互層」を新たに導入し、Voevodskyが示したホモトピー不変層にたいする基本定理を相互層にまで拡張することに成功していた。本年度の成果は、この新たな理論を分岐理論に応用したことである．分岐理論においては、ガロア表現の暴分岐を統制する導手の概念が重要だが、相互層の理論を用いることにより、分岐理論の導手と微分方程式の不確定型特異点での不正則数を統一的な枠組みで扱うこと可能にすることができる。これは、分岐理論が新たなモチーフ理論において再解釈されることを示すだけでなく，ひとつ相互層を与えるごとに新たな分岐理論が生じることを意味する。
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| Research Progress Status |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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