2018 Fiscal Year Annual Research Report
Foundations of rigid geometry from birational viewpoint
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15H03607
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
HESSELHOLT LARS 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10436991)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | リジッド幾何学 / 数論幾何学 / 代数幾何学 / モチーフ理論 / 可換環論 / パーフェクトイド空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
従来からのリジッド幾何学の基礎理論の研究に加え, リジッド空間と密接に関係したパーフェクトイド空間について, 特に応用面を視野に入れて研究している. より具体的には数論幾何学において基本的かつ重要なコホモロジー群の消滅定理, 特にブラウアー群の場合を含む (正則スキームに対する) 平坦コホモロジー群の純性予想を研究した.
前年度から今年度にかけエタールコホモロジー群に対する純性定理に見通しの良い新しい証明を与えた. 最も困難な場合の純性は完備正則局所環で定義されるリジッド空間のエタールコホモロジーの計算である. 申請者はリジッド空間に対する計算が "空間のパーフェクト化" を考え, パーフェクトイド空間の tilting equivalence を考えることにより既知の正標数の純性に帰着されることを発見した.
ただしこの議論は見通しは良いものの, 使用されるパーフェクトイド空間は初期に Scholze が定義したものになっておらず, Fontaine の意味のパーフェクトイド環から得られるより一般の空間となる. この場合の基礎は十分発達していると言い難く, 詳細を仲里渓 (名古屋大学)と検討した. 基礎付けと合わせ今後の発表を予定している. 混標数かつ非自明な 1 のベキ乗根を含む場合の研究も進め, 平坦コホモロジー群の純性を示した. 今年度は K. Cesnavicius (CNRS) との研究交流があり, ベキ乗根の仮定なしにScholze との共同研究を進めているそうであるが, 当研究で開発された方法は彼らのものとやや異なっており, 独自要素を含んでいるため今後の発展につながると考えている.
また, これらの議論はホモトピー論的側面を持っているため, L. Hesselholt (名古屋大学) に分担者になってもらい, ホモトピー論の関連情報にも目を配っている.
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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