2016 Fiscal Year Annual Research Report
数論幾何学のアデール的新手法－ｐ進ホッジ理論・多重Ｌ函数を中心とする多角的応用
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15H03610
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
安田 正大 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (90346065)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
古庄 英和 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (60377976)
山下 剛 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (70444453)
岩成 勇 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70532547)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Belyi の定理 / 馴分岐 / 多重ゼータ値 / 複シャッフル / Euler 系 / Drinfeld モジュラー多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の業績は多岐にわたる。以下には主な業績についてのみ記す。研究代表者は杉山祐介氏との共同研究により、pseudo-tame な関数という概念を用い、cubing という手法を開発して代数閉体上の任意の代数曲線から射影直線へのいたるところ馴分岐となる射が存在することを示した。応用として、Belyi の定理の正標数類似が基礎体の標数が 2 のときにも奇標数の場合と同様に成立することを示した。研究代表者の安田と分担者の山下剛氏は逆井卓也氏と副代数的 Grothendieck-Teichmuller 群と operad によって定式化される Kontsevich のグラフ複体の関係、柏原-Virgne 問題との関係を勉強した。研究代表者はそれに触発され、いろいろな可換群スキームに対する複シャッフル空間の構造をホモロジー代数や tree を用いて組織的に研究した。特に群が乗法群のとき、複シャッフル空間が深さ１で自由に生成されること、および、乗法群の 2 つ直積のときには深さ１では生成されないことを示し、そこから深さが小さい多重ゼータ値に関する伊原・高尾、Schneps、Goncharov、Gangl・金子・Zagier、井原・落合らによるいくつかの知られている結果の別証明を得た。さらに近藤智氏と共同研究を行い、Drinfeld modular 多様体のモチヴィックコホモロジー上に以前構成していた Euler 系と同じ norm 関係式をみたす元の族を Drinfeld レベル付きの Drinfeld modular 多様体に拡張する仕事に取組み、構成を概ね完成させた。またそれを実現するためにトポスの理論についての基礎の整備を行った。分担者の山下は宇宙際幾何学をRiemannゼータに応用するのを模索し、また高次有理ホモトピー群とAbel-Jacobi写像の関係を研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、昨年度までの期間に想定していなかった方向に研究が進み、研究実績の概要に書いたような予想外の成果がいくつか得られた。その反面、論文の執筆計画が遅れるなど、もともと予定していた研究が十分推進できなかった側面もある。また、無限圏についての知識の習得についても計画より遅れてしまったが、その代わりに operad の理論や保型周期の理論などの今後の研究に実践的に役立ちそうな内容を習得できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度習得した operad の理論や Eisenstein コホモロジーを多重ゼータ値の理論に応用する構想が固まってきたので、この構想をより具体化するように研究の方向性を軌道修正する。また、近藤智氏との共同研究では、site を使った Langlands 対応への新しい視点が見えてきたため、この方向にも研究を推進したい。昨年度進捗の遅れてしまった無限圏についての知識習得を昨年度に引き続き進めることにする。
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