2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03611
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小木曽 啓示 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40224133)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90126037)
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (40380670)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 原始的自己写像 / カラビ・ヤウ多様体 / 有理多様体 / ダイナミカル次数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素力学系において、より低次元の複素力学系に還元できない双有理自己写像である原始的自己双有理写像の存在は基本的な問題である。第1ダイナミカル次数が1より真に大きい原始的双有理自己同型を有する任意次元>2の有理多様体、 カラビ・ヤウ多様体、アーベル多様体の存在を示した。 また、偶数次元では双正則自己同型で実現できることも示した。これらは、 ICM 2014での招待講演において提示し、研究の主テーマとしていた問題に対するほぼ完成した解答を与える。
代数多様体としてアブストラクトには同型だが、母空間である3次元射影多様体のクレモナ変換（3次クレモナ変換）では決して移りあえない滑らかな4次曲面対の存在を示した。また、3次クレモナ変換では移りあうが、3次射影変換では決して移りあえない滑らかな4次曲面対の幾何学的に簡明な例を構成し、Truong, Kollar氏の質問に解答を与えた。
また、当該研究に関連し、以下の国際研究集会を組織委員の一人として企画実行した: "RIMS Workshop on Rationality and self-maps of algebraic varieties" (July 19 --22, 2017, RIMS, Kyoto); "Higher Dimensional Algebraic Geometry, Holomorphic Dynamics and TheirInteractions" (Jan. 3--28, 2017, National University of Singapore, Singapore); "New Trends in Arithmetic and Geometry of Algebraic Surfaces"(March 12--17, 2017, BIRS, Banff, Canada)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
任意次元双有理自己写像の場合と任意偶数次元双正則自己射の場合に、ICM 2014での招待講演において提示し、研究の主テーマとしていた問題に対するほぼ完成した解答を与えることができたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
双正則自己写像を有する任意奇数次元の有理多様体、単有理多様体カラビ・ヤウ多様体の存在は主テーマと密接に関わる重要な未解決問題であり、今後も継続して追求していきたい。特に単有理多様体においてはUeno-Campana型と呼ばれる多様体の有理性、単有理性の問題にも関連する。この問題も同時に考察していきたい。
代数曲面において、特定の曲線上恒等射となるがエントロピーが正であるような双正則自己写像を許容する代数曲面の存在と構造（Dolgachevの問題）が、純代数幾何学的問題として提示された。この問題は近年複素力学系における周期点の等分布性の観点からも興味のある新しい問題である。当該研究テーマと強い関わりのある新しい問題であり、着手していきたい。また、その高次元類似も探っていきたい。
標数零への幾何学的非持ち上げ不可能な正標数超特異K3曲面の自己同型の存在はSalem数22の自己同型に着目したEsnault氏、Yu氏との共同研究依頼爆発的に研究が進んでいが、非射影的な場合にやはりSalem次数22の自己同型をもつこととの関連は十分に分かっていない。具体的事例から初めて解明していきたい。
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