2016 Fiscal Year Annual Research Report
Development of Representation Theory and Special Functions
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15H03613
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
落合 啓之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (90214163)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | リー群 / 表現論 / 特殊関数 / 超幾何関数 / 対称性 / 微分方程式 / 軌道分解 / 統計学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
表現論における諸問題を特殊関数の立場から統合し、それを扱う枠組みを構築することを目標として、特殊関数論を基盤的研究と応用との両側面から包括的に見直し、表現論やその他の分野へ活用することを目的とした研究である。
本年度は、Piotr Graczyk, Salha Mamane (アンジェ大), 伊師英之（名古屋大）と共に、統計学で興味を持たれている未解決問題に取り組んだ。これは対称ではない錐の上の多変数の冪積のラプラス変換に関する Letac-Massam 予想として知られるが、錐がQ型のときには我々の研究で肯定的な結果が得られた。Letac-Massam 予想に関しては、難関とされるP型に関しても同じ共同研究の枠組みでアプローチしていく。新しい幾つかのアイディアがあり、それを確かめてみたいことと、共同研究者が、統計学、複素解析、私が特殊関数（特に超幾何関数）を目配りして分担関係もうまくいっている。
また、 Uuganbayar(モンゴル国立大学) 並びに私の研究室の大学院生と共同で、偏微分微分方程式をリー群の対称性から解析し、部分群で不変な解を与える微分方程式を導出したり、それを特殊関数で解いたりする研究を開始した。全体のプランは大きいが、一部は進展し、プレプリントとして公開した (math.arXiv 1704.03579)。これらの研究では、分数階の微分作用素、つまり、リーマンリュービル積分作用素も視野に置いて研究を進めている。ここから派生する問題や課題も多く、軌道分解に関する問題も発生してきている。
その他に、 共変性を持つ微分作用素（Rankin-Cohen 型の微分作用素）の研究を初年度から続けている。軌道分解に関するデータの蓄積も行っている。また、部分群への分解やリー理論の応用に関する研究（鍛冶静雄との共同研究）でも成果を上げた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画にあるような、広がりを持った話題から表現論や特殊関数に関係するような課題がいくつも見つかり、これらを解決することができてきている。このサイクルは今後もうまく回っていくと思われる。共同研究者との役割分担や成果の共有もうまくいっており、これを継続する。
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| Strategy for Future Research Activity |
Letac-Massam 予想に関しては、難関とされるP型に関しても同じ共同研究の枠組みでアプローチしていく。新しい幾つかのアイディアがあり、それを確かめてみたいことと、共同研究者が、統計学、複素解析、私が特殊関数（特に超幾何関数）を目配りして分担関係もうまくいっている。
偏微分微分方程式の対称性からの研究はまだまだすべきことがたくさん残っている。幸い、馬力のある学生もいるので、計算面ではうまくいくと思える。新しく生じた軌道分解の問題や、超幾何を超えた特殊関数に関しては、今までの経験からの理論構築ができるものと踏んでいる。これは面白い展開になるであろう。
また、Rankin-Cohen 関係は、伊吹山知義（過去の共同研究者）、小林俊行、久保利久、Micheal Pevzner などと９月にまとまって共同で研究を進められることを予定している。
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