2017 Fiscal Year Annual Research Report
Development of Representation Theory and Special Functions
| Project/Area Number |
15H03613
|
|---|
| Research Institution | Kyushu University |
|---|
Principal Investigator |
落合 啓之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (90214163)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 表現論 / 特殊関数 / 分数階微分 / optimal system |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
表現論における諸問題を特殊関数の立場から統合し、それを扱う枠組みを構築することを目標として、特殊関数論を基盤的研究と応用との両側面から包括的に見直し、表現論やその他の分野へ活用することを目的とした研究である。
Uuganbayar(モンゴル国立大学) 並びに私の研究室の大学院生Dorjgotovと共同で、偏微分微分方程式をリー群の対称性から解析し、部分群で不変な解を与える微分方程式を導出したり、それを特殊関数で解いたりする研究を行った。全体のプランは大きいが、一部は進展し、論文として公開した 。先行研究で扱われている不変性の拘束条件を正確に述べ直し、それを用いて、新しい非線形方程式に対するリー群の対称性を決定し（係数関数の決定も含む）、ならびに、optimal system（係数関数への群作用の代表系）を書き上げた。さらに、幾つかの場合には、特殊関数を用いて解を具体的に書き表すことに成功した。先行研究に比して独立変数を上手に選ぶことによって、書き表せる場合が増えている。これらの研究では、分数階の微分作用素、つまり、リーマンリュービル積分作用素も視野に置いて研究を進めている。ここから派生する問題や課題も多く、軌道分解に関する問題も発生してきている。
共変性を持つ微分作用素（Rankin-Cohen 型の微分作用素の一般化）の研究では、Zagier, 伊吹山, 久保など、他の研究者が得ている微分方程式系の holonomic 性や付随する不変量を調べることで、既存の方程式系との関係や対応を見る研究を行っている。９月のワークショップでは、保形形式と表現論の2つの立場からの研究の架け橋を与えるという内容を依頼され、招待講演を最終日に行った。リー理論や群の部分群への分解を応用に関する研究（一部は鍛冶静雄との共同研究）も行っている。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分数階の微分方程式の対称性に対しては着実に成果が得られており、計画通りに順調に推移している。共変性を持つ微分作用素の一般化では、データの蓄積が増えてきて、今後に活かすことができると十分に期待できる状況である。錘の解析に関する研究は、昨年度一段落し、論文を公開したが、次年度に新たな研究を開始する手はずが付いている。以上を総合して、研究の進捗状況は順調であると判断した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今までの研究を継続し、研究成果を挙げていく。特殊関数を研究する枠組みとして、九大にプロジェクトスペースを確保し、その場を活用して、セミナー、研究、研究員の確保などを新たにスタートする。ポスドク研究員をパートタイムで雇用し、研究データの整理や計算の補助を担ってもらうことも行う。
|
