2018 Fiscal Year Annual Research Report
Development of Representation Theory and Special Functions
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15H03613
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
落合 啓之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (90214163)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 表現論 / 特殊関数 / 分数階微分 / optimal system / ドレスト光子 / 対称性 / 対称空間 / 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
表現論における諸問題を特殊関数の立場から統合し、それを扱う枠組みを構築することを目標として、特殊関数論を基盤的研究と応用との両側面から包括的に見直し、表現論やその他の分野へ活用することを目的とした研究である。
Uuganbayar氏並びにDorjgotov氏(モンゴル国立大学)と共同で、偏微分微分方程式をリー群の対称性から解析し、部分群で不変な解を与える微分方程式を導出したり、それを特殊関数で解いたりする研究を行った。先行研究で扱われている不変性の拘束条件を正確に述べ直し、それを用いて、新しい非線形方程式に対するリー群の対称性を決定し（係数関数の決定も含む）、ならびに、optimal system（係数関数への群作用の代表系）を書き上げた。さらに、幾つかの場合には、特殊関数を用いて解を具体的に書き表すことに成功した。先行研究に比して独立変数を上手に選ぶことによって、書き表せる場合が増えている。
超幾何関数の独立変数とパラメータが混在するタイプの関数関係式（蛭子彰仁氏による）の成立起源を蛭子理論とは異なる立場から考察し、簡明な理由を一つの関係式に対して与えた。これは12月の研究集会で報告し、多くの質疑があり、専門家の興味を引いたと思われる。
錘の解析に関する研究は、Q型の場合の解決を踏まえて、P型へと研究を進行中である。この研究にも超幾何関数やガンマ関数を始めとした特殊関数の知見が多く活用されることが我々の研究で明らかになってきつつある。
リー理論や群の部分群への分解を応用に関する研究（一部は鍛冶静雄との共同研究）も行っている。また、軌道分解を広い立場から考える様式を提唱し、簡約型と限らない群の作用に関して、不変式を構成する新しい方法を見出し、３月の研究会で報告した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分数階の微分方程式の対称性に対しては着実に成果が得られており、計画通りに順調に推移している。錘の解析に関する研究は、Q型の場合の解決を踏まえて、P型へと研究を進行中であり、次年度に新たな研究を開始する手はずが付いている。12月の研究会で話した内容は、当初の予測を超えた範囲で特殊関数の関係式に関する新しい知見を得ることができた。以上を総合して、研究の進捗状況は順調であると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今までの研究を継続し、研究成果を挙げていく。特殊関数を研究する枠組みとして、九大にプロジェクトスペースを確保し、その場を活用して、セミナー、研究を行っており、うまく機能している。この枠組みを次年度も続けていく。錘の解析に関する国際共同研究は、順調に進んでいて、私がフランスに行くか、フランスから招聘するかの機会を設けて論文まで仕上げていく段階である。超幾何関数の関係式に関しては短い論文をまず執筆し、その後（あるいはそれと並行して）、対称性を含んだ包括的な研究を行う。また、軌道分解に関しては様々なデータの集積を行っており、その整理のためにポスドクや大学院生をパートタイムで雇用し、研究の進展を早めると同時に学生の研究力の増進にも活かす。
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