2018 Fiscal Year Annual Research Report
Arithmetic of algebraic varieties with trivial canonical bundle
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15H03614
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| Research Institution | Hosei University |
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Principal Investigator |
桂 利行 法政大学, 理工学部, 教授 (40108444)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | K3曲面 / アーベル曲面 / Enriques曲面 / 超特異 / 標数正 / 多重線形系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、M. Schuettと９個のcusp特異点を有するK3曲面の構造に関する研究を行ない成果をまとめて発表した（査読中）。この曲面は、translationではない位数３の自己同型を有するアーベル曲面を被覆空間として持つ。simpleなアーベル曲面がtranslationではない位数３の自己同型を持てばその商空間は常にK3曲面になること、p-rankが１のアーベル曲面でtranslationではない位数３の自己同型を持てばその商空間はK3曲面にはならないこと、標数pが5以上の場合に超特異K3曲面が９個のcusp特異点を持てば、Artin不変量が1、またはArtin不変量が２かつpが法３で２になることなどが主な結果である。証明にはsimpleなアーベル曲面の自己同型環の構造定理や格子理論を用いる。K3曲面のZariski性に関しては、Schuettとの共著として昨年度投稿した超特異K3曲面のZariski性に関する論文が受理された。また、１昨年度投稿した標数２の有限自己同型群を有するEnriques曲面に関する金銅誠之名大教授との共著論文の１編目は出版され、2編目についてはレフリーのアドバイスにより前半と後半を入れ替え、さらにconductrixを用いた部分の証明を詳しく書き直して再構成し、86ページからなるrevised versionを再投稿した。種数１のfibrationを有する曲面の多重線形系がいつファイバー空間の構造を与えるかという問題は小平次元１の楕円曲面に関しては解決済みであったが、本年度は標数３において小平次元1の準楕円曲面の多重線形系に関して考察し、まとめたものが出版された。この場合、５重以上の線形系は常に種数１のファイバー空間の構造を与え、５がこのような多重線形系の最良の値である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
標数２の代数的閉体上の有限自己同型群を有するEnriques曲面のnodal曲線のconfigurationを用いた分類が完成したが、この研究プロジェクトを始めた時はこのようなことが可能であるとは予想さえしていなかった。２編合わせて全体で110ページを超える大作になった。 この結果以外にもいくつかの論文が順調に出版されている。
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| Strategy for Future Research Activity |
標数２の有限自己同型群を有するEnriques曲面のnodal曲線のconfigurationを用いた分類は完成したが、その各類のモジュライ数がまだ決定できていない。これが決定できれば、有限自己同型群の構造がすべて決定できるので、この解明に力を入れたい。そのために、Enriques曲面の種数１のファイバー空間の構造の標準形を考察中である。また、Enriques曲面の種数１のファイバー空間の重複ファイバーに含まれるconductrixを明快に計算する方法を見出すことにより、金銅誠之およびG. Martinと共同で得た結果の証明の簡易化ができないかも考察中である。
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