2017 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03616
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
宮岡 礼子 東北大学, 高度教養教育・学生支援機構, 総長特命教授 (70108182)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 等径超曲面 / ガウス写像 / ラグランジュ交叉 / フレアホモロジー / スピン構造 / FOOO理論 / 過剰決定系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当研究課題開始時期から継続して研究している等径超曲面のガウス写像のラグランジュ交叉に関するフレアホモロジーの研究で，未解決になっている重複度１の主曲率を持つ場合について，等径超曲面がスピン構造を持つか持たないかを見極めるため，Chern Math. InstituteのZizhou Tang教授からの示唆を得て，かなりのことがわかった．これをフレアホモロジーの計算につなげることを目標としていたが，まだ完成していない．以前研究した際に，スペクトル系列の利用がこの場合はうまくいかないと考えたが，共同研究者の入江博氏から，再考できる部分もあるとの報告を受けているので，引き続きその観点からも研究を続ける．また，より直接的な方法として，ガウス像の具体的記述からハミルトン変形が何を引き起こすか，検討している．
他方，主曲率の個数g=4で残っていた分類問題を解決するQ.Chiの論文を精査して，ほぼこれが正しいとの認識を得た．少々修正を要する点は著者に指摘済みである．これにかなり時間をさいたが，近く長年にわたる分類問題が解決される．
新たな問題として，等径超曲面を定義する等径関数をより解析的に研究することに取り組み始めている．すなわち，過剰決定系として捉え直し，楕円型微分方程式の境界値問題として，その領域あるいは境界を決定することから等径超曲面を導出できるとの予想への取り組みである．これは物理的背景をもち，それ自体興味深い今後の課題と捉えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
最後に残っていた等径超曲面の分類問題の論文（７０ページ余）を精査するのに時間を要した．これを終えたので当研究の時間を確保したい．
一方，平行して書籍の執筆を行なっているので，バランスよく時間配分することが必要である．
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| Strategy for Future Research Activity |
フレアホモロジーについては，スペクトラル系列をもう少し検討すべきかもしれないという共同研究者の入江博氏の示唆がある．引き続き，大仁田義裕し，Hui Ma氏と共に研究していく．ラグランジュ部分多様体の立場からは，ガウス写像の像の研究はハミルトン変形を等径超曲面自体の変形と結びつけて詳しく調べることも興味深く，今後引き続き，取り組みたい．
また，新たな問題として，等径関数を過剰決定系で表せないかとの課題がある．等径関数は二つの偏微分方程式の解として定義されるが，そのうちのラプラシアンの方を仮定し，境界条件をうまく定めると，おそらくもう一方の偏微分方程式が不要になるのだはないかとのJiangquan Ge氏の予想への取り組みである．この逆は既にトランスノーマル関数として研究され，研究代表者も論文を書いている．この過剰決定系という立場でのユークリッド空間で行われている議論は自明解（測地球面）しか現れないが，球面で行うと，非自明な解が多数現れるはずであり，楕円型偏微分方程式論の立場からも興味深い．これは最大値原理などを駆使して，取り組むと，熱流などの立場にも関係していて価値ある問題である．
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