2015 Fiscal Year Annual Research Report
シンプレクティック微分リー代数の構造とモジュライ空間の特性類
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15H03618
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
逆井 卓也 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60451902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 茂之 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 名誉教授 (70011674)
鈴木 正明 明治大学, 公私立大学の部局等, 准教授 (70431616)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / モジュライ空間 / 特性類 / シンプレクティック微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究組織のメンバー３人の相互協力の形で，以下の内容について研究を行った．
1. 自由結合代数, 自由 Lie 代数の場合のシンプレクティック微分 Lie 代数の構造について，まず自由結合代数の場合のオイラー数の漸近的振る舞いを, リーマン面のモジュライ空間の場合と比較しつつ考察を進め，位相的漸化式との関連の可能性を探った．加えて，自由 Lie 代数の場合のアーベル化の構造を計算機を用いて調べた．前者については，理論の展開の可能性が見えてきたものの，決定的な成果に至っておらず来年度も引き続き調べる必要があり，後者については，非自明な成分が現れており，その具体的表示や一般化へと研究が展開しつつある．
2. 写像類群や自由群の外部自己同型群のコホモロジー環の構造について，それらの群と対応するモジュラー群の関係性に注目し，それぞれの群において定義されている特性類たちに対し Borel regulator class を用いた幾何的かつ統一的な定式化を行い，部分的に解決した. また，シンプレクティック群の表現論と写像類群のトートロジー環の構造の関連について, Manivel の意味での表現安定性の有用性に注目して構造を調べた．
3. Gwenael Massuyeau 氏との共同研究において，これまでに得られていた曲面のホモロジー同境群の拡張森田トレース準同型を種数 1 の場合に適用し，その群のアーベル化の非自明性の証明やホモロジーファイバー結び目の不変量の構成を行った．一般の種数の場合についても同様の考察を行い，部分的な結果を得た．
様々な国際会議や研究集会，談話会や集中講義などを通じ，研究内容の発表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
写像類群や自由群の外部自己同型群の特性類の幾何的かつ統一的構成が得られたことは大きな進展である．トートロジー環の構造の研究や曲面のホモロジー同境を用いた３次元トポロジーへの応用についても確実な進展が得られている．一方で，自由結合代数のオイラー数の漸近挙動については，位相的漸化式との関連などといった理論の広がりの可能性がでてきたものの，主たる予想を証明する段階まで至っておらず，若干の遅れが生じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
自由結合代数のオイラー数の漸近挙動については引き続き研究を行う．階数７の自由群の外部自己同型群の有理ホモロジー群の計算を 2016 年度に計画していたが，2015 年度中に国外の研究者が計算結果を速報したため，その部分について我々の理論の枠組みの中でこの結果を検証し，さらに詳しい構造を調べるという次の段階へと移行することとする．また，階数７のときの計算手法を参考にしつつ，階数８の場合の計算を実行する．
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