2017 Fiscal Year Annual Research Report
シンプレクティック微分リー代数の構造とモジュライ空間の特性類
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15H03618
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 茂之 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (70011674)
鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (70431616)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / モジュライ空間 / 特性類 / シンプレクティック微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究組織の３人の共同研究により，次の内容について研究を行い成果を得た.
１．自由リー代数のシンプレクティック微分リー代数において，次数１の元で生成される部分リー代数を決定することは，曲面の写像類群に対する有理ジョンソン準同型の像を決定することと同等であり重要な問題となっている. 昨年度までに得られていた，トレリ群の２つの降下列（ジョンソン降下列と降中心列）を比較する方法に基づいて具体的な計算を行い，有理ジョンソン準同型の像のなすリー代数の２次ホモロジー群を重さ６まで決定した．この結果の応用として，ホモロジー３球面の次数６までの有理数値有限型不変量が本質的にキャッソン不変量とジョンソン準同型によって表されるという事実の証明や，ジョンソン核の有理アーベル化の最終決定をすることができた.
２．第７，第８有理ジョンソン準同型の像の具体的計算を進めた．実際，いくつかの既約成分を除いて像が決定できている．残された部分については，これまでになかった新たな種の余核成分の候補が現れており，その理論的ならびに位相的意味を調べることが今後の課題となっている．
以上に加え，５月に「Johnson homomorphisms and related topics」という国際研究集会に，世話人の一人として集会の運営（当研究費にて国外より講演者を１名招聘した）を行った．加えて，その集会内で講演を行い，関連するテーマについて活発な議論を交わした．１の成果の最後の部分はその集会で得た知見が元となっている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
５月に開催した国際研究集会で得た知見を元に，ジョンソン核の有理アーベル化の最終決定ができたのは当初の想定以上の結果であった．第７，第８有理ジョンソン準同型の像の決定については来年度に持ち越しとなったが，現時点で新たな種の現象が確認できており，調べているリー代数の構造の豊かさを表すものとなっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
第７，第８有理ジョンソン準同型の像の決定を行うことが最も優先すべき事項である．具体的な方法として総当たり的な計算を行うことも可能であるが，その後の発展を考えるとリー代数の構造を利用した理論的な形，さらには位相的解釈を伴った形で解決できることが望ましい．並行して，モジュライ空間の特性類の幾何的解釈についての予想の証明や，階数８の自由群の外部自己同型群の有理ホモロジー群の計算に取り組んでいく．Gwenael Massuyeau 氏との議論を通じ，ホモロジー３球面の次数６までの有理数値有限型不変量について（我々の結果を受けた形での）具体的公式の導出を進めていく．
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