2017 Fiscal Year Annual Research Report
Microlocal and semiclassical methods in spectral and scattering theory
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15H03622
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
中村 周 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50183520)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤家 雪朗 立命館大学, 理工学部, 教授 (00238536)
足立 匡義 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (30281158)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | シュレディンガー方程式 / 散乱理論 / 半古典極限 / 超局所解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の中村は，今年度は以下のような研究を行った．(1) 長距離型摂動を持つ拡張されたシュレディンガー型作用素について，散乱行列が古典力学の散乱写像の母関数を相関数とするフーリエ積分作用素であることを証明した．(2) 前項の結果の応用として，特定の長距離型摂動を持つシュレディンガー作用素の散乱行列のスペクトルの性質を決定した．(3) Fabricio Macia（マドリード大学）との共同研究で，非コンパクト領域での半古典不足測度の研究を進めた．(4) 平良晃一（東京大学）との共同研究で，擬リーマン計量を持つシュレディンガー型作用素の本質的自己共役性についての研究成果を得た．
研究分担者の藤家は，今年度は，以下のような研究を行った．(1) 双曲型不動点の周りでの解の特異性伝播の定理を精密化した．また，この超局所解析の定理と，量子共鳴の半古典漸近分布の問題の間の相関関係を明らかにした．(2) 行列値ポテンシャルを持つ一次元シュレディンガー作用素の量子共鳴の分布を，特にエネルギー交差の近くで明らかにした．(3) 行列値ポテンシャルを持つシュレディンガー作用素のスペクトルシフト関数が完全な漸近展開を持つための十分条件を与えた．(4) 非自己共役なZakharov-Shabat作用素の固有値の半古典漸近分布を完全WKB法を用いて明らかにした．
研究分担者の安達は，今年度は以下のような研究を行った．板倉恭平氏，伊藤健一氏（共に神戸大学），Skibsted氏との共同研究で，Rellichの定理，極限吸収原理，超局所レゾルベント評価など，多体シュレーディンガー作用素のスペクトル理論における重要な題材に対して，それらの証明の新たな枠組を開発した．そのおかげで，滑らかさなど，ポテンシャルに課すべき条件をこれまでよりも緩めることができるようになる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要にあるように、研究目的に沿った研究成果が順調に得られている。数学の研究に関しては、研究成果が出版されるには時間がかかるが、多くの研究成果はすでにプレプリント等の形で公表されている。また、研究目的の一つである若手研究者に対する研究助成も着実に行われており、研究成果の中に若手研究者との共同研究成果が多く含まれていることも、それを反映している。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画に基づき、研究代表者、研究分担者の自発的な研究活動によって、当該研究計画の目標の実現を、引き続き目指して行く。国際交流、国際会議での研究発表のための外国旅費の支出、国内における研究交流のための国内旅費の支出、それに付随する諸費用、研究のための計算機環境の整備、などに大部分の予算を支出する。
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