2017 Fiscal Year Annual Research Report
Symmetries of operator algebras and subfactors
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15H03623
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
泉 正己 京都大学, 理学研究科, 教授 (80232362)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 作用素環 / 函数解析 / 群作用 / 分類空間 / フュージョン圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
松井宏樹と共同で以前から取り組んできた、poly-Z 群の Kirchberg 環への外部的作用の分類の研究において、大きな進展があり、我々が目指している分類定理の位相幾何学的意味が明らかのなった。作用素環への群作用とは、作用する群 G から作用される環 A の自己同型群 Aut(A) への準同型と考えられるが、これは G の分類空間 BG から Aut(A) の分類空間 BAut(A) への連続写像を導く。誤解を恐れず基本的なアイデアを述べれば、我々が考えている分類定理はこの写像のホモトピー類が群作用を完全に分類するというものである（もちろん実際には安定化等の技術的処理を必要とするが）。作用素環の歴史の中で群作用の研究は多いが、このようなタイプの分類定理は存在していなかった。その理由は、既に多くの分類定理が知られている von Neumann 環 への群作用場合自己同型群の位相的構造が簡単であったこと、C* 環への群作用の場合は我々以前の分類定理が BG の位相的構造が簡単な整数群の作用に関するものに限られていたことによる。この類の分類定理を得るためには、Aut(A) の位相的条件から解析的な条件への橋渡しが必要になるが、Aut(A) の自然な位相はノルムで与えられないため簡単ではない。そこで我々は、A の連続的漸近中心化環のユニタリ群の位相が Aut(A) のループ空間と弱ホモトピー同値に近い関係にあることをまず示し、このユニタリ群について解析を行った。ユニタリ群の場合自然な位相がノルムで与えられるため、摂動論的な解析が可能となる。
Pinhas Grossman と一般化 Haagerup 圏の Drindeld 中心の計算を多くの例について行い、その結果としていくつかのパターンにまとめられる兆候を確認した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に記載したように、長年の懸案であった Kirchberg 環への poly-Z 群の作用の研究が大きく進展して、その位相幾何学的意味も明らかになった。この研究については、得られた結果を精査し3本の論文にまとめる予定である。我々の結果と Dadarlat-Pennig の strongly self-absorbing C*環の Dixmier-Douady 理論の関係も明らかになった。本研究は、作用素環論ではまったく新しいタイプの群作用の研究であり、既に多くの専門家が興味を示している。
一般化 Haagerup 圏の Drinfeld 中心の計算は着実に進んでおり、適当な条件下では対応する有限可換群の位数２以下の元全体のなす部分群は３つの場合に分類されることが分かった。それぞれの場合に複数個の例について Drinfeld 中心の計算に成功しており、モジュラーデータの統一的記述ができるのも時間の問題だと思われる。我々の計算は新しいモジュラーテンソル圏の多くの例を与えており、分野で懸案となっている「すべてのモジュラーテンソル圏は共形場理論から構成されるか？」という問題とも大きく関連している。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度までの研究により、Kirchberg 環への poly-Z 群の作用の分類のについての数学的な問題点はおおむね克服されたと思われる。この研究は多くの新しいアイデアと技術を含むものであり、証明を精査し発表する作業を慎重に行う必要がある。その過程で多くの今後の課題が見つかると予想される。実際、Cuntz 環の場合に我々の分類定理を用いて群作用の個数の数え上げを行うときには、Cuntz 環の自己同型群の位相に関する多くの興味深い問題が生じることが既に分かっている。これらの問題は今後の課題としたい。Cuntz 環は強自己吸収的ではないが類似な性質を持っており、Dadarlat-Pennig による強自己吸収的 C*環についての研究が参考になると思われる。そのため既に Dadarlat, Pennig とは Cuntz 環の自己同型群の位相について議論を始めている。
Evans-Gannon は奇数位数の有限可換群に対する near-group 圏の Drinfeld 中心のモジュラーデータを統一的に記述する予想を与えている。前年度までの実験的計算を使って、一般化 Haagerup 圏 の Drinfeld 中心のモジュラーデータの統一的記述を Evans-Gannon 流の方法を用いて行いたい。Evans-Gannon の予想では、モジュラーデータが２つの有限可換群とそれらの上の２次形式からが定まるが、２つ目の群の数学的な意味が分かっていない。この意味を考えることで、モジュラーデータに対応するモジュラーテンソル積の実現問題を考える。
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