2017 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03624
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
矢野 孝次 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80467646)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 確率解析 / マルコフ半群 / エルゴード性 / スペクトル / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / マルコフ過程 / Dirichlet 形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Wiener 空間上の非対称拡散過程について研究した。特に Dirichlet 形式による拡散過程の構成を行った。Wiener 空間で Ornstein-Uhlenbeck 過程にドリフト項を加えたものを扱った。摂動的な手法を使うために、対数 Sobolev 不等式を用いてドリフト項の処理を行った。また L^p の枠組みでも生成作用素の定義域の決定を行った。これらの結果は雑誌 Mathematical Journal of Okayama University に投稿し、掲載された。
また拡散過程から定まる半群の長時間挙動は、エルゴード性を中心に重要な話題である。特に定常状態への指数関数的な収束の速さを研究してきた。ここでは対数 Sobolev 不等式が成立するという条件の下で考察し、Zygmund 空間という L log L 型空間においてもスペクトルギャップが存在することを示した。特に Orunstein-Uhlenbeck 過程の場合は最良の収束であることまで示した。また Kolmogorov 拡散過程の一例となる Kummer 過程の場合に、L (log L)^β 型の Orlicz 空間におけるスペクトルを完全に決定した。その結果 β によってスペクトルギャップが変化することが分かった。このことによって対数 Sobolev 不等式が成り立っても、Orlicz 空間の枠組みでは一様なスペクトルギャップが得られないことが分かった。これらの結果は雑誌 Entropy に投稿し、掲載された。
その他に Kolmogorov 拡散過程のスペクトルを、Student 過程や、Fisher-Pareto 過程まで含めすべて決定できたので、結果を纏めている。また Hankel 変換についても、超幾何関数を用いた定式化で、ユニタリー性の別証明が可能であることなども見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Pearson-Kolmogorov 拡散過程のスペクトルの解明が進んでいる。これらの成果を用いて、0-次のグリーン関数の構成が可能になってきた。さらに1次元拡散過程のスペクトルギャップの証明も直截的な証明の可能性も予想できるなど、発展性が出てきた。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き Pearson-Kolmogorov 拡散過程の研究を進める。超幾何関数を使った具体的な計算ができるようになったので、Pearson 分布のラプラス変換の計算も具体的にできるはずである。これらを用いて Stein の方法による分布の特徴づけや、弱収束の枠組みを整理していきたい。
また超対称性を用いた解析を、1次元拡散過程だけでなく、多様体上の拡散過程や、無限次元空間の上の拡散過程にも一般化することを目指す。Dirichlet 形式を使った関数解析的な枠組みをうまく生かして、特に非対称なものの解析を進めていきたい。
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