2018 Fiscal Year Annual Research Report
Research on Markov processes via stochastic analysis
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15H03624
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
矢野 孝次 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80467646)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 確率解析 / マルコフ半群 / エルゴード性 / スペクトル / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / マルコフ過程 / Dirichlet 形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
マルコフ過程とその応用について研究を行い、次のような成果が得られた。
1次元拡散過程の典型例である Pearson-Kolmogorov 拡散過程のスペクトルについて、超対称性の観点から統一的な記述を行った。ずれの係数の1次関数の持つ自然なパラメーターに関して、関数の微分と、その双対作用素で固有関数が互いに移りあうメカニズムを明らかにした。またこのことを用いてパラメーターが変化した場合の固有値の間の関係を与えることができた。特に拡散係数の次数が対応関係の特徴を与える。例えば拡散係数が1次の場合は線形な対応となり、2次の場合は放物線に沿った対応となる。また、Doob の h-変換との対応や、Feller 拡散過程としての双対との関係も統一的に理解することができた。
研究の副産物として、基本になる標準速度は、Pearson 分布であるが、その Laplace 変換の特徴付も、超幾何関数を用いて解明することができることも分かったきた。これはすべての場合が解明できたわけではないが、将来的な課題である。部分的には知られた結果であるが、文献をあたって整理を行っていきたい。
ほかに、1次元拡散過程の一般的な枠組みの中で、0 を孤立したスペクトルとして持つ場合の、0-レゾルベントの表現を求めることもできた。従来知られているレゾルベントの構成に比べ、基本解の積ではなく、和になるところが興味深く思える。これらを使って、スペクトルギャップの評価（小谷の定理として知られている）の別証明を与えることもできた。
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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