2017 Fiscal Year Annual Research Report
Spectrum of transfer operators for hyperbolic dynamical systems
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15H03627
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
辻井 正人 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20251598)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教授 (20304727)
新居 俊作 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50282421)
千葉 逸人 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (70571793)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 力学系のゼータ関数 / 葉層のコホモロジー / 量子カオス / 転送作用素 / 離散スペクトル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度（平成29年度）の研究において，特筆すべき事項は半古典ゼータ関数（Gutzwiller-Voros ゼータ関数）についてのコホモロジー的理論を記述するための関数解析的枠組みを構成できたということである．これはこれまでの研究の1つの到達点である．力学系のゼータ関数として，最も単純なものは離散力学系のArtin-Mazurゼータ関数であるが，これはAnosov微分同相の場合はLefschetzの不動点公式から，相空間（多様体）のコホモロジーに対する力学系の作用で統制され，その固有値を特異点とする有理関数になる．このことの類似が流れ（連続力学系）の場合にどのようになるかという疑問は，自然であるがよくわかっていない．V.Guilleminは1977年の講義録の中で，Anosov流の典型的な例である負曲率多様体上の測地流について，半古典ゼータ関数は不安定葉層に沿う葉層コホモロジー上の流れの作用によって統制されることについて，アイデアを示した上で負の定曲率の場合にSelbergゼータ関数についての結果を使ってこれが正しいことを確かめた．また，Juhlは2001年に出版された長大な本の中で定曲率（または等質空間上の即知立）の場合に議論を展開している．しかし，より一般の場合については当時の研究水準との関係もあって，残された問題となっていた．これについて本研究課題の1つのテーマとして過去3年にわたって考察を続けてきたが，29年度の夏に一般の接触アノソフ流の場合に肯定的に解決することがわかった．結果（の一部分）については，日本およびフランスの国際研究集会で発表し，現在論文を執筆中で30年度の前半に完成させる予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平成２９年度の研究実績の概要で述べた半古典ゼータ関数のコホモロジー的理論は本研究の大きな目標としてきたものであり，３年目の本年にほぼ完結した理論が得られたことは予想を上回る進展と考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
転送作用素の不安定葉層に沿う葉層コホモロジーへの作用について研究し，半古典ゼータ関数の性質（特に零点と極の分布）について研究を進める．また，量子カオスとの関係で，虚軸の近傍の零点が重要になるが，それらは0次のコホモロジー空間への転送作用素の作用（の生成作用素）の固有値に対応するので，その分布について詳しい考察を行いたい．
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