2018 Fiscal Year Annual Research Report
Spectrum of transfer operators for hyperbolic dynamical systems
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15H03627
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
辻井 正人 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20251598)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
新居 俊作 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50282421)
千葉 逸人 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (70571793)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 力学系 / 転送作用素 / 力学系のゼータ関数 / 周期軌道 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に半古典ゼータ関数のコホモロジー的理論の整備を目指して研究を行なった．昨年度の研究により，アノソフ流に対する半古典ゼータ関数は不安定葉層に沿う葉層コホモロジーの空間への力学系の自然な作用に対応する転送作用素の力学的フレドホルム行列式の交代積として表せることが理解できた．今年度の研究はそれを発展させる形で，葉層コホモロジーコホモロジー空間への作用の性質について研究した．主な結果として，次数が0の場合を除いて，その作用がほぼ消滅していることを示した．これは，半古典ゼータ関数の零点のほとんどは次数0の葉層コホモロジーの空間への作用，すなわち，不安定葉層に沿って定数であるような関数に対する転送作用素の生成作用素（Ruelle-Pollicottレゾナンス）として与えられていることを意味する．この結果は数年前から予想し，証明したいと考えてきた結果であり，本研究課題の研究の主要な帰結のひとつとなると考える．また，この結果はアノソフ流の幾何学的な量子化として，量子カオスとの関係で非常に興味深い結果であり，今後は関係する分野の物理学者とも議論を深めたいと考えている．現在，証明を論文としてまとめているところである．結果自体はサルバドール（ブラジル）で開催された国際数学者会議のサテライト会議で発表した．また，テヘランでの研究集会や国内の研究集会でも発表した．
上記の研究と並行して，アノソフ流に対する指数混合性の問題について考察した．これについては生成的な体積を保つ3次元アノソフ流に対して指数混合性が成り立つことを本研究課題の初期の結果として得たが，それをより一般化する方向で研究を進めた．特に現段階では体積を保つという条件を外しても結果が成り立つことを証明するための考察を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で説明したように，半古典ゼータ関数について前年までの研究を基本にして，より深い結果を得ることができた．この結果は本研究課題の一つの到達目標としてきたものであ理，予想以上の進展と言って良いと思う．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の研究の進捗は順調であり，現在の研究を続けていきたい．来年度は本研究課題の最終年度であり，これまでの成果をまとめて発表するとともに，多くの関係する分野の研究者と議論することで今後の発展について考えたい．特に，来年度はフランスでは2度にわたり研究成果を連続講義として発表する機会があるので，その際に本研究課題の概要について説明するととともに，多くのフィードバックを得ることを希望している．
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