2016 Fiscal Year Annual Research Report
On solutions of critical nonlinear dispersive and dissipative equations
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15H03630
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
林 仲夫 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30173016)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Schredinger equation / Critical nonlinearity / Large time asymptotics / Scattering operator / Dissipative wave / Korteweg-de Vries / Dissipative NLS / Dirac equation |
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| Outline of Annual Research Achievements |
質量零条件のもとで微分を非線形項に含む３階非線形Schredinger方程式の時間大域的振る舞いの研究を行った. これは修正 Korteweg-de Vries方程式の複素数値版と考えられるものである. 我々は自由発展群の因数分解公式を用いて従来の減衰評価を改善することに成功した.この結果は国際誌に掲載されている.
臨界冪非線形項を持った4階非線形Schredinger型方程式の研究を行い, 微分を非線形項に含む場合は, 自己相似解の近傍で解が安定であること, 微分を非線形項に含まない場合は線形解よりも時間減衰が速い解が存在することを発展作用素の因数分解公式を用いて調べることにより明らかにした. この事実は通常の2階非線形Schredinger方程式では見られなかった現象であり, すでに国際誌に掲載されている.
臨界冪非線形項を持った消散型波動方程式の解が対応する非線形熱方程式の解に漸近することを示した. この結果は空間次元が3以下の場合に知られていたものであるが高次元に関しては未解決であった. 我々は熱方程式の研究において用いられる可積分空間の代わりに重みつき空間をもちいることによって明らかにした. この結果は国際誌に掲載されている.
流体力学の研究で用いられる分数冪非線形Schredinger型方程式の時間大域解の存在および漸近的振る舞いを従来の結果より広い関数空間で証明することに成功した. この結果は国際誌に掲載されている.
その他消散型非線形Schredinger方程式, 修正 Korteweg-de Vries方程式, Ostrovsky-Hunter 方程式, 冪乗型非線形項を持った Dirac 方程式 に対して研究を行い, 時間大域解の存在および時間減衰評価に関する新しい結果を得た. これらの結果は国際誌に掲載されている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
臨界冪非線形項を持った4階非線形Schredinger型方程式の研究を行い, 非線形項の構造により, 自己相似解の近傍で解が安定である場合と, 線形解よりも時間減衰が速い解が存在することを発展作用素の因数分解公式を用いて調べることにより明らかにした. この事実は通常の2次非Schredinger方程式では見られなかった現象である. 臨界冪非線形項を持った消散型波動方程式の解が対応する非線形熱方程式の解に漸近することを示した. この結果は空間次元が3以下の場合に知られていたものであるが高次元に関しては未解決であった. 我々は熱方程式の研究において用いられる可積分空間の代わりに重みつき空間をもちいることによって明らかにした. その他複素型修正Korteweg-de Vries 方程式, Ostrovsky-Hunter 方程式, 冪乗型非線形項を持った Dirac 方程式, 非線形項を消散項として持つ非線形Schredinger方程式などの非線形分散型方程式においても成果をあげた.
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| Strategy for Future Research Activity |
臨界冪非線形項を持つ分散型方程式の共同研究を海外共同研究者 Naumkin, Kaikina と継続して行う. また高次元臨界冪非線形Schredinger方程式の共同研究を海外共同研究者 Naumkin, Li と継続して行う. 高次元臨界冪非線形Schredinger方程式の解の漸近的振る舞いは空間次元が４次元以上は未解決問題である. 我々は従来用いられてきた関数空間ではなく, 問題に適した空間を見つけることによりこの解決を目標とする. 我々はすでにいくつかの共同研究において従来とは異なる空間を利用してきた. この結果をさらに発展させて問題の解決をめざす.
講演あるいは国際誌への掲載を通して研究成果を内外に発信することに務める. 内外の研究者による研究集会を開催し, 専門家との意見交換を積極的に行うことにより成果の評価を客観的に把握し研究にいかす. 若手研究者による夏期セミナーを開催し若手研究者の育成に貢献する.
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