2016 Fiscal Year Annual Research Report
変分汎関数の高次情報が拓く楕円型偏微分方程式の解の大域的・幾何学的構造
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15H03631
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 信 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (30350458)
壁谷 喜継 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90374743)
和田出 秀光 金沢大学, 機械工学系, 准教授 (00466525)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 安定解 / 有限モース指数解 / Trudinger 型不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度、研究代表者・高橋は、研究課題の一つである Hardy 型不等式に密接に関連する Trudinger-Moser 型不等式について研究を開始し、特に Adachi-Tanaka 型、Li-Ruf 型と呼ばれる、全空間 Trudinger-Moser 型不等式の変分法的研究を推進した。Trudinger-Moser 型不等式は、所与の関数の局所対数的特異性を指数可積分性の観点から測るものであり、本研究課題で扱う安定解の正則性問題とも密接にかかわる絶対不等式である。特に近年研究課題として注目されている分数べきソボレフ空間における Adachi-Tanaka 型 Trudinger-Moser不等式について、空間次元が1次元の場合ではあるが、可積分性の指数の改良及び最良定数の達成可能性を示した。また、重み付き Li-Ruf 型 Trudinegr-Moser 型不等式についても結果を得て、既に論文としてまとめられ、現在、最終チェック中である。高橋は、2017年1月のローマ大学での研究集会の際に斯界の権威である L. Nirenberg 教授の前でこれらの結果について講演する機会を得て、また、2017年3月にはシドニー大学での研究集会において N. Trudinger 教授にも講演を聞いて頂く機会を得た。本年度、高橋は日本数学会誌「数学」論説記事『楕円型方程式の安定解の周辺』を含む原著論文3本を出版、日本数学会講演1回、 KAIST, シドニー大学、ローマ大学、11th AIMS など5回の海外講演を含む計12回の研究講演のほか、7月には Mittag-Leffler 研究所においてサマースクールを組織、また同7月には、フロリダで開催された大規模国際研究集会 11th AIMS で分担者・和田出・石渡と共に Special Session を組織し、研究交流の活発化を図った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
極解など半安定解の解析に必要なハーディー型不等式は、ソボレフ不等式とともにより広いクラスのハーディー・ソボレフ不等式の両端の場合として考えられ、昨年度にはこのハーディー不等式の解析を行い、高階レリッヒ型不等式の改良や、劣臨界全空間ハーディー不等式と球体上での臨界ハーディー不等式の関連などについて成果を上げることができた。本年度はソボレフ不等式のもう一つの臨界状況を表すトゥルーディンガー・モーザー型不等式の解析に注力して研究を推進した。複数の国際研究集会を組織しながらの研究であったが、まず第一歩としていくつかの成果を得て、既にプレプリントとして arXiv に公表しており、また、このプレプリント公開を契機として新しくフランスの若手ベトナム人研究者との国際共同研究も始まりつつある。このような状況で研究の進捗状況は良好と判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般の有界領域における臨界型ハーディー不等式に付随する最小化問題の達成（不）可能性については、昨年度より KAIST の Jaeyoung Byeon 教授との間で共同研究が継続しているが、最近になってようやく突破口が見つかり、研究が進展している。本年度はこの研究をまとめ上げ、論文として発表することを第一の目的とする。有限モース指数解の対称性や形状などの幾何学的性質についての研究は、まずヘノン型方程式の場合に考察するのが良策と思う。この分野で研究業績を挙げている Ederson Moreira dos Santos 教授とは面識があり、研究面での協力を仰ぎたい。 また、近年進展が著しい分数べきラプラシアンなどの非局所作用素を主部に持つ方程式の安定解や有限モース指数解の定性的理論については、この分野の権威である X. Cabre 教授とコンタクトを取り、研究の方向性について意見を仰ぐ予定がある。さらに、本年9月にブラジルで開催予定の国際研究集会に参加し、世界の研究動向の最先端を探る予定である。
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