2018 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03634
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
田中 一之 東北大学, 理学研究科, 教授 (70188291)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横山 啓太 北陸先端科学技術大学院大学, 先端科学技術研究科, 講師 (10534430)
木原 貴行 名古屋大学, 情報学研究科, 准教授 (80722701)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 数学基礎論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度から３年間の研究の諸成果を精査し，研究全体をより一層ダイナミックに発展させられるように，以下の３つの小テーマに組み替えて研究を推進し顕著な進展を得た．１．逆数学と超準的手法．分担者の横山らは超準モデル理論における Parisらの指標関数の手法を拡張し，そこに証明論における Ketonen/ Solovayによる順序数解析手法，再帰理論における Cholak/Jockusch/Slamanらの Mathias強制法を組み入れることで，2 次元Ramseyの定理を特徴付ける関数のクラスが原始再帰的関数のクラスと一致することを示した．この融合手法を応用して，さらに多くの組み合わせ命題の証明論的強さを調べている．２．Weihrauch次数と開ゲーム．２階算術における算術的超限再帰 (ATR) 周辺に相応する Weihrauch 次数の理論を整備し，この文脈で ATR, Σ^1_1-選択公理, Σ^1_1-従属選択公理などがどのような関係になるかの調査を，分担者の木原が中心的に行った. また，Stillwell の提示していた領域不変性定理の逆数学の問題に木原が解決を与えた．３．ミニマックス定理を応用した「Yaoの原理」は，どんな乱択アルゴリズムを用いても，最悪の入力確率分布に対しては，決定性アルゴリズムよりもコストが下がらないというものである．代表者らは，決定性アルゴリズムによる最小コストを最大化する入力確率分布（固有分布）を様々な状況で特定する研究を行い，2017年にAND-OR均整木(多分岐)において固有独立分布(ID)は独立同分布(IID)になることを証明した．その結果をさらに非均整木に一般化する結果を得て，論文を投稿中である．以上の結果の発表および討論の場として，次の会議を開催した．CTFM 2019, 武漢理工大学, 2019年3月．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新たな３つの課題それぞれにおいて顕著な進展が得れた．
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| Strategy for Future Research Activity |
３つの課題間の交流や合流の可能性を検討しながら，研究全体の一層ダイナミックな発展を目指す．1. 逆数学と超準的手法．今後組み合わせ命題の分析をより汎用性の高い手法で行う．組み合わせ命題の証明論的強さの分析は，そのまま有限組み合わせ論において現れる急増加関数の評価にもなっており，今回与えられた手法はグラフ理論等へ応用されることも期待される．2. Weihrauch次数と開ゲーム．無限ゲームの決定性（必勝法の存在）は超臨界命題の代表である．２階算術においては，開ゲームの決定性と算術的超限再帰 (ATR) とが同値であることが知られており，Weihrauch 束を用いてさらにその関係を詳細に分析する．3. 固有分布の非均整木への一般化は，まだ様々な条件が付されているため，この条件を緩めていき，さらにはMin-Max木の研究を行いたい．以上のように３課題を遂行しながら，最終年度に向けて研究全体の総括も行っていく．
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