2015 Fiscal Year Annual Research Report
符号・球面デザイン・グループテストに内在する組合せデザイン とその最適性の研究
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15H03636
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
神保 雅一 中部大学, 現代教育学部, 教授 (50103049)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
栗木 進二 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (00167389)
三嶋 美和子 岐阜大学, 工学部, 准教授 (00283284)
澤 正憲 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (50508182)
金森 敬文 名古屋大学, 情報科学研究科, 准教授 (60334546)
籾原 幸二 熊本大学, 教育学部, 准教授 (70613305)
繆 瑩 筑波大学, システム情報工学研究科(系), 教授 (10302382)
佐藤 潤也 名古屋大学, 情報科学研究科, 准教授 (20235352)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 組合せデザイン / Steiner quadruple system / 光直交符号 / 最小距離の大きい符号 / 球面デザイン / グループテスト |
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| Outline of Annual Research Achievements |
符号，球面デザイン，グループテストに内在する組合せ構造には組合せデザインが深く関係する．平成27年度は
（１）多元接続符号のための組合せ符号の構成（担当：神保，三嶋，籾原，佐藤）：巡回型SQSは光直交符号(OOC)に用いることができることが知られている．本研究では，巡回型より大きい自己同型群を持つアフィン不変SQSの構成問題について名大博士後期課程の盧氏を交えて研究を行い，アフィン不変SQSの構成にCGグラフと呼ばれるグラフを導入して，そのグラフの1因子の存在とアフィン不変SQSの存在が同値であることを示し，さらに，その無限存在性および存在確率を数論的手法を用いて示した．本研究成果は論文として国際誌に掲載された．また，衝突回避符号についても重みが4の場合に符号長が2と3のベキを含む場合に，その存在問題をある種の場合に一般的に解決し，論文として公表した．
（２）最小距離が大きい線型符号と組合せデザインの関係（担当：神保，繆，籾原）：符号長に比例する最小距離を持つ線型符号の系列を与え，その次元を明らかにし，さらに，その結果をより一般的な符号長を持つ線型符号に拡張した．
（２）球面デザインの統計的最適性（担当：神保，澤，金森）：本年度は主に，澤が中心となって，球面デザインおよびそれに関連する成果の研究を行った．球面デザインの構成法については，Cubature公式の理論と題して，数学会の会誌にその研究成果を公表した．また，B型ワイル群を用いた最適ユークリッドデザインの構成を拡張してより高次のユークリッドデザインの構成法を見出した．
（３）グループテストに関する研究（担当：神保，繆，金森，栗木）：グループテストにおいて，d-disjunct, d-separableという概念が重要であるが，3-separablepooling designの構成法を与え，研究成果を国際誌に公表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，下記の研究成果を得ており，おおむね順調に研究が進展していると思われる．
（１）アフィン不変SQSの構成法とCGグラフの1因子分解の同値性を指摘し，CGグラフに1因子が存在するための条件を数論的観点から明らかにし，漸近的な存在確率を得た．また，以前から行ってきた衝突回避符号についても重みが4の場合の存在条件をある種の場合に一般的に解決した．これらの成果は国際的論文誌に掲載された．
（２）球面デザインの新たな構成法を得，グループテストのための3-separable codeの構成法を与え，代表者および分担者の研究が連携して，その成果は国際誌に掲載あるいは掲載可となっている．さらに最小距離が大きい線型符号の構成法と次元を得るなど，研究が進展して，論文としてまとめている研究もある．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度に続き，下記のテーマに関して，共通の組合せ構造に注目しながら研究を遂行してゆきたい．
（１）巡回型の組合せ符号，組合せデザインの構成，その巡回軌道の分解問題の研究（担当：神保，三嶋，籾原，佐藤）：アフィン不変SQSの構成法については，平成27年度の研究で一応，当初の目的を果たした．平成28年度以降は，巡回群を自己同型群に持つ組合せ符号，組合せデザインについて，その巡回軌道の分解可能性(resolvability)に注目し，その分解可能性を数論・組合せ論の両面から明らかにしてゆきたい．そのために，研究分担者らとの共同研究を実施するとともに，海外から，R. M. Wilson(Caltech)などの研究者を招聘し，共同研究および研究情報交換を行いたい．
（２）最小距離が大きい線型符号の構成法とその組合せデザインとの関連(担当：神保，繆，籾原）：現在得ている研究成果を論文として取りまとめ，さらに組合せデザインとの関連も明らかにしていきたい．また，そのような線型符号のグループテストや暗号，実験計画法などへの応用についても関連を明らかにしてゆきたい．
（３）グループテストの識別確率とpooling designのなすグラフの組合せ構造との関係（担当：神保，繆，栗木，金森）：pooling designの満たすべき，性質にdisjunctness, separabilityなどの概念があるがpositive itemの数の増加に伴い，必要なpool数（グループ数）が急激に増加する欠点がある．我々は，disjunctnessやseparabilityの概念を確率的に弱くしたalmost disjunctなどの概念を導入し，そのような性質をもつpooling designの新たな構成法を見出すとともに，それに適したアルゴリズムを得たい．
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