2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03637
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木下 武彦 京都大学, 健康長寿社会の総合医療開発ユニット, 特定講師 (30546429)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 非線形偏微分方程式 / 計算機援用証明 / 精度保証付き数値計算 / 不動点定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，非線形偏微分方程式に代表される関数方程式の解に対する計算機援用証明の適用範囲を格段に広げることを目的とします．また，具体的な応用として，流体力学の基礎方程式に対する精度保証付き数値計算を行い，結実した成果を，非線形発展方程式に対する解の存在検証法の確立と数理モデルの計算機援用証明に展開します．
平成28年度の成果として，無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価方法を一般のHilbert空間に拡張することに成功し，あわせてこの評価方法が任意の有限次元近似空間を取ることができるという条件の下では最適な評価になることを具体的な検証例とともに明らかにしました．一方で，無限次元Newton法に基づく手順の基幹となる線形化作用素の可逆性の確認と有限次元作用素による一様近似は，有限次元行列に対するスペクトルノルム評価に帰着されることが確認されています．特に偏微分作用素をGalerkin近似により離散化して得られる行列の多くは大規模疎構造を持ち，一般にHermite性・正定値性は保証されません．また，疎行列の構造を保ったままでのスペクトルノルムの精度保証計算は現状では計算コストの面で課題があります．この難点を克服するため，解を包み込むことが期待される有限次元の集合部分を区間と基底関数で表現する解の検証手法(区間Newton法)について探求し，2次元Navier-Stokes方程式に特別な外力項を与えた問題に対する精度保証付き数値計算に成功しました．さらに，少ない計算コストにより線形作用素の可逆性と精度保証付き逆作用素ノルムを評価する新しい理論の糸口をつかむことができました．
以上の研究成果は，平成29年度以降も引き続き拡張・改良を重ねるべき課題であり，それらの検討は継続して実施します．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成27年度には，本助成事業の援助により，共同研究者・連携研究者・海外研究協力者が全員参加した討論の場を設定することができました．その議論を踏まえ，平成28年度では，関数方程式の解に対する無限次元Newton法による包み込み理論の構築に成功するとともに，ノルムというひとつの尺度に落とし込むだけでない多様なパラメータを活用することによる解決方法を具体的な非線形方程式を例に示すことができました．また，個々の問題に対して検証理論を適用する段階で得られる知見を理論の精錬化および新しい理論の構築につなげることも出来ています．
以上の理由から，当該研究はおおむね順調に進展していると判断します．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度は，平成27年度と同様，研究組織構成員全員が参加し，これまでのテーマを深く掘り下げた討論の場を設定したいと考えています．
特に，流体の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に対する計算機援用証明に重点的に取り組みます．設定テーマは，(1) 無限次元Newton法を基本流れの安定性を記述するOrr-Sommerfeld方程式に対する精度保証付き数値計算に適用し，その有効性あるいは問題点を明らかにするとともに，問題が生じた場合にはその解決策を提示すること．(2) Navier-Stokes方程式の流れ関数定式化より導かれる4階重調和方程式に対する精度保証付き数値計算のために，4階線形楕円型作用素に対応する射影誤差近似を確立することです．
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