2017 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03637
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 非線形偏微分方程式 / 関数方程式 / 有限要素法 / 事後誤差評価 / 不動点定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，非線形偏微分方程式に代表される関数方程式の解に対する計算機援用証明の適用範囲を格段に広げることを目的とします．また，具体的な応用として，流体力学の基礎方程式に対する精度保証付き数値計算を行い，結実した成果を非線形発展方程式に対する解の存在検証法の確立と数理モデルの計算機援用証明に展開します．
平成29年度の成果として，線形重調和方程式に対する構成的誤差評価を与え，具体的な領域および近似空間に対する計算機援用証明を行うことによりその有効性を確認しました．また，流体力学の基礎方程式のひとつであるNavier-Stokes方程式の流れ関数表示から導かれる非線形作用素のコンパクト性を理論的に証明しました．作用素のコンパクト性は適用する不動点定理および検証アルゴリズムに対して重要な情報を与えることが知られているため，今後の理論面・応用面の展開が期待されます．
無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価方法については，前年度に得られた着想をさらに深化させることにより，少ない計算コストにより線形作用素の可逆性を得る方法と計算コストはかかるものの従来の手法よりシャープな逆作用素ノルムの上界を与える二つの手法の提案が可能であるとの確信を得ることができました．今後は2階楕円型作用素に対する集中的な理論構築および精度保証付き数値計算による有効性の検証を行います．
以上の研究成果は平成30年度以降も引き続き拡張・改良を重ねるべき課題であり，それらの検討は継続して実施します．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成29年度においても，本助成事業の援助により，連携研究者・海外研究協力者が全員参加した討論の場を設定することができました．その結果，個々の研究成果に対する相互レビューだけでなく，未解決問題の洗い出しや応用分野が抱える精度保証付き数値計算への期待などの情報交換を通して新しい理論・手法を構築するための手がかりをいくつも得ることができています．
以上の理由から，当該研究はおおむね順調に進展していると判断します．
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| Strategy for Future Research Activity |
共同研究者との緊密な連携の下，本研究課題を引き続き推進します．具体的には，流体の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に対する計算機援用証明に重点的に取り組みます．設定テーマは，(1) 無限次元Newton法を基本流れの安定性を記述するOrr-Sommerfeld方程式に対する精度保証付き数値計算に適用し，その有効性あるいは問題点を明らかにすること，(2) Navier-Stokes方程式の流れ関数定式化より導かれる4階重調和方程式に対する精度保証付き数値計算のために，4階線形楕円型作用素に対応する射影誤差近似を確立することです．また，その他のテーマとして2階楕円型方程式に対し，これまでの事後誤差評価に比べて低コストかつ高精度となる誤差評価手法の提案についても考察を進めます．
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