2017 Fiscal Year Annual Research Report
thermodynamic formalism and bifurcation of Henon maps
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15H05435
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
高橋 博樹 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (00467440)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | エノン写像 / 分岐 / 大偏差原理 / エルゴード最適化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までに、高々有限回くりこみ可能な２次写像を含むきわめて広いクラスの区間力学系についてDonsker-Varadhan型の大偏差原理が成立することを証明していた。この結果では、すべての臨界点が平坦でないことを仮定しているため、本年度はこの仮定を取り除いた場合を考察した。平坦な臨界点が存在しても、臨界点が再帰的でなければ canonical inducing scheme がよい性質をもち、これから大偏差原理の上からの評価を導くことができる。鄭容武氏（広島大学）との共同研究で、Misiurewicz条件を満たし平坦でない臨界点を持つ単峰写像について大偏差原理が成り立つことを証明し、さらに平坦性をコントロールするパラメーターを変化させた時に大偏差レート関数の零点集合の構造が質的に変化することを証明した。これらの結果をまとめた論文を現在、投稿中であり、国内の研究集会でも発表を行った。
篠田万穂氏（慶應義塾大学・学振特別研究員DC1）が修士課程で行ったエルゴード最適化問題についての研究の結果を１次元拡大的Markov写像に応用し、Lyapunov最大化測度が非可算無限個存在するような写像がC1級位相で稠密に存在することを証明した。ポテンシャル関数が写像に依存するため、目標とする定理を証明するために新しいC1級の摂動補題を開発する必要があった。この結果をまとめた論文は、微修正の後に査読付き国際誌 Ergodic Theory and Dynamical Systems に受理される予定である。
可算マルコフシフトとよばれる非コンパクトな空間上の力学系の大偏差原理について大きな進展があり、得られた結果を論文にまとめた。arXivに公開後、いくつか誤りが発見されたが現時点でほぼ修正済みである。誤りのうちの一つは修正が効かない本質的なものであったが、これに関連して新たに考察すべき問題が発見された点は収穫であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究目的であったエルゴード理論と熱力学形式によるエノン写像の分岐の解析については、最初の分岐パラメーターで一定の成果が挙がり、論文としてすでに刊行されているものの、他のパラメーターについての解析は遅れている。一方で、平坦でない臨界点を持つ区間力学系の大偏差原理やエルゴード最適化問題、可算マルコフシフトの大偏差原理などについて、当初は予想していなかった成果が挙がり、論文としてまとめることができた。これらの状況を総合的に判断して「おおむね順調に進展している」と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
熱力学形式とエルゴード理論の専門家であるRenaud Leplaideur氏（ニューカレドニア大学）を訪ね、最初の分岐パラメーターでのエノン写像の大偏差原理についての共同研究を行う。並行して、可算マルコフシフトや連分数展開の大偏差原理、Erdos-Renyiの法則等の極限定理、レート関数の零点の構造、およびマルチフラクタル解析について考察を進める。さらに、懸案となっていたLyapunov指数の一様性に関する投稿中の論文について、本年度内に受理されるよう改訂を進める。一方で、これまでに得られた種々の成果を国際研究集会で発表し、今後の新たな展開を模索する。
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