2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15H05436
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高田 了 東北大学, 理学研究科, 助教 (50713236)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 成層流体 / 回転流体 / 分散型評価 / Navier-Stokes方程式 / Boussinesq方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度も昨年度までに引き続き，地球流体力学に現れる非線形偏微分方程式系に関する研究を行った．特に本年度は，回転と安定成層が共存する場合，および安定成層が単独で存在する場合において，静力学平衡状態からの擾乱の時間発展を記述する Boussinesq 方程式に対する時間周期問題と特異極限問題を考察した．
（１）回転成層 Boussinesq 方程式の時間周期問題：回転と安定成層が共存する状況で，非圧縮性 Boussinesq 方程式に対する時間周期問題に関して研究を行った．昨年度までの研究で得られていた，回転と安定成層に対する分散型評価を応用することで，同方程式の時間周期解の一意存在を保証する時間周期的外力項の大きさが，回転速度および浮力周波数に応じて大きく取れることを証明した．また外力項の空間無限遠での減衰の仮定に関しても，スケール劣臨界な空間へ条件を弱めることに成功した．また時間全区間における時間概周期問題に対しても同様の結果を得た．
（２）成層 Boussinesq 方程式の特異極限問題：安定成層が単独で存在する状況で，非圧縮性 Boussinesq 方程式に対して，浮力周波数を無限大とする特異極限問題に関する研究を行った．形式的な特異極限によって得られる極限方程式の解に対して，異方的 Biot-Savart 法則の導出，および異方的 Sobolev 空間におけるエネルギー保存則を確立した．その応用として，極限方程式に関して，大きな初期値に対する時間大域的適切性と解の正則性を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成28年度の研究成果は，回転成層 Boussinesq 方程式に関する時間周期問題の解決，および成層 Boussinesq 方程式の極限方程式に関して大きな初期値に対する時間大域的適切性と解の正則性を証明したことである．時間周期問題に関しては，時間半区間，時間全区間および概周期問題に対しても，スケール不変な枠組みでの統一的な解の存在定理を与えることに成功した．また特異極限問題に関しては，極限方程式の異方性を考慮した関数空間を設定し，エネルギー保存則を導出することで，極限方程式の時間大域的な適切性を証明した．今後の研究課題である特異極限問題の解決，および非粘性流体方程式の時間大域的適切性への応用が期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，現在までの研究で得られた時間発展作用素に対する線形分散型評価や時空積分評価，および極限方程式の解に対するエネルギー評価の応用として，成層流体および回転成層流体に対する特異極限問題を考察する．極限方程式の解の安定性を考えることで，回転速度および浮力周波数を無限大とする特異極限において，Boussinesq 方程式の解が極限方程式の解へ収束することを証明する．また，そこで得られた手法を非粘性流体方程式に対しても応用し，非粘性 Boussinesq 方程式に関する時間大域的適切性を証明する．
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